手数が多いとミスも誘発されやすく… @約数の総和+α

例えば、
「18の約数→1,2,3,6,9,18」
ですから、
「約数の総和=1+2+3+6+9+18=39」
と求められますね。

ところが実際には、
「$18=2×3^2$」
と素因数分解できることから、
「18の約数の総和
=$(1+2)×(1+3+3^2)$
=3×13
=39」
と、
「全てを列挙して足していく」
という面倒な手法は必要なく、
「単純な計算で機械的に求める」
ことになります。

初見で理解できない場合は、
「順番に上式を展開」
してみましょう。

すると、
「18の約数を全て加えていった式」
となることが確認できるはずです。

 
つまり、
「Aの約数の総和→Aをまず素因数分解！」
という段取りを覚えておきましょう。

今回は、
「“約数の総和”関連としては新傾向」
の問題なので、しっかり対応できるかチェックしておきましょう。

【解説】
まず、
「$2025=3^4×5^2$」
と素因数分解したら、
「2025の約数の総和=U」
とすると、
「S-T=(U-31)-(U-121)=90」
と、
「“総和の計算”自体を行う必要はなく」
簡単に求められるところがポイントですね。
（※参考 : U=
$(1+3+3^2+3^3+3^4)×(1+5+5^2)$）

なぜなら、
「3の倍数ではない約数の和
=$1+5+5^2=31$」、
「5の倍数ではない約数の和
=$1+3+3^2+3^3+3^4=121$」
という計算だけしておけば、答えを導き出すことができるからですね。
（※全約数の集合で
「“3の倍数”と“5の倍数”をベン図で描いてみる」
と理解しやすくなると思います。）

ところが、ある過去問集の“模範解答”では、
「3の倍数の和と5の倍数の和を各々求める」
という面倒な計算をした上でS-Tを求めていました。

「慎重に物事を一つずつ進めていくこと」
は大切な姿勢ですが、
「簡単な方法があるにもかかわらず手数の多い方法を選択」
してしまうと、
「入試では“大切な時間を消費”してしまう…」
ことになると共に、
「手数が多い分“ミスを犯す機会も増えて”しまう…」
という
「負の側面」
も考慮しなくてはなりません。

「無駄な計算を省く」
ことは、
「ミスを減らすことにもつながる」
という“鉄則”を肝に銘じておきましょう。

[追記　2025/8/9]

ここで、上記の問題を解いた流れで、
「是非取り組んでもらいたい問題」
を取り上げておきます。

何はともあれ、まずは解いてみてください。

もし、
「悩んでしまった…」
のであれば、
「取り組んでみた甲斐があった」
と前向きに捉えましょう。

【解説】
まず、
「2025を素因数分解」
して考えていこうとすると、迷路に迷い込むことになったかもしれません。

「この設問の意味」
を冷静に考えると、要は
「2の倍数でも3の倍数でもない2025以下の自然数の個数」
を問うていることに気づけると思います。

とすると、
「2025を素因数分解する必要はない」
ことは明らかで、
「2025以下の2の倍数→[2025/2]=1012個」「2025以下の3の倍数→[2025/3]=675個」
「2025以下の6の倍数→[2025/6]=337個」
（※ [ ]はガウス記号）
を求めれば、後は機械的に計算できますね。

∴ 2025-(1012+675-337)=675個