“中の人”をシャッフルしなければ…/完全順列

とある地方都市のご当地キャラである、
“□□□レンジャー”。

□□□市長の肝煎りで生まれ、市民の間にもかなり浸透している。

一時期注目された“すぐやる課”的な部署の職員達が、市民から寄せられた要望に少しでも対応すべく、“5人のレンジャー”が様々な場所やイベントに出動し市民サービスに努めている。

しかし最近、やや中だるみ的な状況になっていることと、東京で子育てしながらスタートアップ企業で奮闘している“市長の娘さん”から忠告を受けたこともあって、フレッシュアップを図ろうとしている。

「今時ね、青だから男、赤だから女、ピンクだからちょっと色っぽく…とか、おかしいのよ」
と“意識高め”の娘さんの忠告を、市長が深刻に受け止め、　
「まず、“各色の中の人”をシャッフルしよう！」
と。

その際、
「今の色とは必ず違う色に変え、“各人の固有のキャラ”と“各色がこれまでに形成してきたキャラ”を融合させて新しいキャラをつくること！」
と注文をつけてきた。

そこで、数学に詳しい職員が、
「普通にくじで選び直しても大体( a )％の確率で違う色になりますから、理論的には( b )回くじを引かせれば“色替え”はまず決められますね」
と言ってきた。

【問題】
「5人全員が今までとは違う“色”になる」
のは全部で何通り考えられるか？
それを元にして「くじを引いて違う色になる確率」を求め、整数値に四捨五入して(a),(b)の数値を答えよ。

※くじのスタイルとしては
「袋の中に5色の玉を入れ戻さずに5人に引かせる」
等のように、
「同様に確からしい」
状況になっていることとする。

【解説】
今回の問題は、
「プレゼント交換問題」
として見聞きしたことがあるかもしれませんが、いわゆる
「完全順列」
に関する問題ですね。

初見の場合、アプローチの仕方としては、
「少ない数の場合でまず考えてみる」
ことで、その先の見当がつけられるようになります。

①2人の場合
お互いに色を入れ替えればいいので「1通り」

②3人の場合
これも順番に考えていけば「2通り」

③4人の場合
これも順番に考えていけばわかると思いますが、整理しておきましょう。
A,B,C,Dの4人が、元々
「Aがa色,Bがb色,Cがc色,Dがd色」
であり、それを
(a,b,c,d)
と表すとすると、異なる色になるのは
(b,a,d,c),(b,d,a,c),(b,c,d,a)
(c,d,a,b),(c,a,d,b),(c,d,b,a)
(d,c,b,a),(d,c,a,b),(d,a,b,c)
となり「9通り」あることがわかりますね。
（※この段階で規則性に気づけるようになりましょう！）

④5人の場合
上記のように順番に考えていっても数えあげられますが、規則性に気づけると、
∴「4×(2+9)=44通り」
と計算のみで求められますね。
（※わからない場合は“完全順列”で調べてみてください。）

ここで、全ての場合の数は「5!=5×4×3×2×1=120通り」
なので、確率としては
「44/120≒0.366...」(*)
となります。

この人数が∞となると、確率は
「1/e≒0.367...（←高校課程でのお楽しみ！）」
となるのですが、(*)の結果からでも
「∴a=37,b=3」
と導けますね。