【古典数学：原論文の講読】 第43書簡「XLIII. Goldbach à Euler. 1742」Christian Goldbach.1742年(ゴールドバッハからオイラーへ書簡)

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$\rm Published$  $\rm Online$  $\rm First$  $\rm (7/8/2026)$
$\rm Latest$  $\rm additions$  $\rm(7/8/2026)$
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1.  Introduction【はじめに】

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1.はじめに
この記事では
第43書簡
【XLIII. ゴールドバッハからオイラーへ】
を紹介します.

この書簡の中にあの有名な
「ゴールドバッハ予想」の初出があります.

Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres
géomètres du XVIIIème siècle
Fuss, Paul Heinrich
St.-Pétersbourg, 1843-1845
ETH-Bibliothek Zürich

18世紀の著名な幾何学者たちの
数学・物理学書簡集
編者：パウル・ハインリヒ・フス
サンクトペテルブルク、1843–1845年
チューリッヒ工科大学図書館
(ETH図書館)所蔵・電子版
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第1章　序論と前回の議論の訂正
第2章　整数表示に関する新しい公式
第3章　三角数表示定理
第4章　多角数への一般化
第5章　数学的予想の意義
第6章　フェルマー数について
第7章　素数和に関する予想
第8章　具体例
第9章　追記（脚注）
第10章　解析学的補遺
第11章　無限級数と曲線
第12章　追伸（P.S.）
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XLIII.
Goldbach à Euler.
Moscau d. 7 Juni n. st. 1742.
Complete Text and Japanese Translation.
第43書簡
ゴールドバッハからオイラー宛書簡
モスクワ　1742年6月7日(新暦)
【全文と日本語訳】
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2.  Complete Text and Japanese Translation.(全文と日本語訳)

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第1章　序論と前回の議論の訂正

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Sommaire. Continuation sur les mêmes sujets. Deux théorèmes d’analyse.
概要
前書簡と同じ話題の続き.
解析学に関する二つの定理.

Ohngeachtet ich mich in meinem vorigen Briefe mit der particula vielleicht précautionniret, so hätte doch nicht geglaubet, dass die Formul $\footnotesize (a+b)^p-a^p-b^p$ sich nicht allezeit durch einen von den divisoribus numeri $\footnotesize p$ sollte dividiren lassen, wenn solches nicht durch das von Ew. angeführte exemple deutlich bestätiget würde.
前回の書簡では、「おそらく(vielleicht)」という語を用いて慎重な言い方をしましたが
それでも、$\footnotesize (a+b)^p-a^p-b^p$という式が
指数$\footnotesize p$の約数の一つで常に割り切れない場合があるとは、あなたがお示しになった例ではっきり証明されるまで、私は信じていませんでした.

⸻
So viel ich mich erinnere, hatte ich mir in meinem letzten Briefe die Formul $\footnotesize 2^{xp\sqrt{-1}}+2^{-xp\sqrt{-1}}$, posito $\footnotesize 2^{p\sqrt{-1}}+2^{-p\sqrt{-1}}=0$, als applicatas einer curvae serpentiformis, deren abscissae $\footnotesize x$ sind, vorgestellet, und welche den axem so oft durchschneidet, als die Formul $\footnotesize = 0$ wird,
私の記憶するところでは前回の書簡において私は$\footnotesize 2^{xp\sqrt{-1}}+2^{-xp\sqrt{-1}}$という式を
$\footnotesize 2^{p\sqrt{-1}}+2^{-p\sqrt{-1}}=0$と仮定したうえで
横座標(abscissae)が$\footnotesize x$である
一種の蛇行曲線(curva serpentiformis)の
縦座標(applicatae)として考え
その曲線はこの式が 0 となる回数だけ座標軸を横切るものとして思い描いておりました.
そしてその曲線はその式が 0 となる回数だけ軸を横切る.

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so dass, wenn die formula ipsa $\footnotesize =2$ ist, die applicata maxima unten oder oben herauskommt, folglich unzählige andere applicatae unter sich gleich seyn müssen; nichts desto weniger ist in meiner damaligen Expression ein Fehler eingeschlichen, den Ew. mit Recht angemerken haben, und leicht verbessert werden kann, indem es heissen sollen, dass wenn $\footnotesize q$ ein numerus quicunque und
$\footnotesize 2^{pV-1}+2^{-pV-1}=0$
gesetzt wird, alsdann posito pro $\footnotesize n$ integro quocunque, seyn werde
$\footnotesize 2^{(8n-4-q)pV-1}+2^{-(8n-4-q)pV-1}=2^{qpV-1}+2^{-qpV-1}$
したがって、もしその式そのものが 2 に等しければ、最大の縦座標（applicata maxima）は上下いずれかに現れ、その結果として無数の他の縦座標どうしも互いに等しくならなければなりません.
それにもかかわらず、私が以前用いた表現には一つ誤りが紛れ込んでいました.この誤りは、あなたが正しくご指摘くださったものであり、容易に修正できます.
すなわち、任意の数$\footnotesize q$に対して
$\footnotesize 2^{pV-1}+2^{-pV-1}=0$
と置くならば、任意の整数$\footnotesize n$に対して
$\footnotesize 2^{(8n-4-q)pV-1}+2^{-(8n-4-q)pV-1}=2^{qpV-1}+2^{-qpV-1}$
が成り立つ、と書くべきでした.
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第2章　整数表示に関する新しい公式

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Ew. haben gefunden, dass alle Zahlen, so nicht $\footnotesize 4mn-m-n$ seyn können, in dieser Formul begriffen sind $\footnotesize v^2+v+u^2$, und ich finde, dass alle $\footnotesize 4mn-m-n$ zu dieser Formul $\footnotesize y^2+y-x^2$ gebracht werden können, so dass eine jede gegebene Zahl gleich ist $\footnotesize p^2+p\pm q^2$, wolbest $\footnotesize p$ et $\footnotesize q$ numeros integros anzeigen, oder auch eine von beiden litteris 0 bedeuten kann; woraus zu sehen ist, dass eine jede Zahl aus einem duplo numeri triangularis ± numero quadrato bestehet.
あなたは$\footnotesize 4mn-m-n$の形で表せないすべての数は$\footnotesize v^2+v+u^2$の形に含まれることを見いだされました.
私はさらに$\footnotesize 4mn-m-n$の形に属するすべての数も$\footnotesize y^2+y-x^2$の形へ変形できることを見いだしました.
したがって任意の与えられた数は
$\footnotesize p^2+p\pm q^2$の形に表されます.
ここで$\footnotesize p$と$\footnotesize q$は整数を表し、またその一方は 0 であっても構いません.
このことから、あらゆる整数は「三角数の2倍 ± 平方数」という形で表されることが分かります.
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第3章　三角数表示定理

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Weil aber auch eine jede Zahl gleich ist der Formul $\footnotesize u^2+v^2+v+y^2+y-x^2,$
so wird, wenn man setzet
$\footnotesize u=\dfrac{z^2+z}{4}+1,\qquad x=\dfrac{z^2+z}{4}-1,$
$\footnotesize u^2-x^2=z^2+z,$
folglich jedes numeri dati dimidium
$\footnotesize \dfrac{n}{2}=\dfrac{v^2+v+y^2+y+z^2+z}{2},$
id est tribus trigonalibus.
しかし任意の整数は$\footnotesize u^2+v^2+v+y^2+y-x^2$
の形にも表されます.
そこで$\footnotesize u=\dfrac{z^2+z}{4}+1,\qquad x=\dfrac{z^2+z}{4}-1$
と置くと$\footnotesize u^2-x^2=z^2+z$が成り立ちます.
したがって、与えられた数の半分は
$\footnotesize \dfrac{n}{2}=\dfrac{v^2+v+y^2+y+z^2+z}{2}$
と書くことができます.
すなわち3個の三角数の和です.

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第4章　多角数への一般化

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Dass in der formula polygonalium
$\footnotesize \dfrac{(p-2)x^2-(p-4)x}{2},$
wenn sie gleich werden soll $\footnotesize 4mn-m-n$, $\footnotesize p$ weder $\footnotesize 5\pm2$ noch $\footnotesize 5\pm1$ seyn könne, sondern alle trigonalcs, tetragonales, hexagonales und heptagonales ausgeschlossen werden, folget ex iisdem principiis.
多角数の一般公式$\footnotesize \dfrac{(p-2)x^2-(p-4)x}{2}$が
$\footnotesize 4mn-m-n$に等しくなることを考えると
辺数$\footnotesize p$は$\footnotesize 5\pm2$および$\footnotesize 5\pm1$
の値をとることはできません.
すなわち三角数・四角数・六角数・七角数の場合は除外されます.
このことも前と同じ原理(ex iisdem principiis)から従います.
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第5章　数学的予想の意義

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Ich halte es nicht für undienlich, dass man auch diejenigen propositiones anmerke, welche sehr probabiles sind, ohngeachtet es an einer wirklichen Demonstration fehlet, denn wenn sie auch nachmals falsch befunden werden, so können sie doch zu Entdeckung einer neuen Wahrheit Gelegenheit geben.
私は、まだ厳密な証明は存在しないとしても、極めてもっともらしい命題（propositiones）は記録しておくことが無益ではないと考えます。.
なぜなら、たとえ後になってそれらが誤りであることが判明したとしても、それでもなお新しい真理の発見へ導く契機を与えることがあるからです.
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第6章　フェルマー数について

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Des Fermatii Einfall, dass jeder numerus
$\footnotesize 2^{2^n}+1$
eine seriem numerorum primorum gebe, kann zwar, wie Ew. bereits gezeiget haben, nicht bestehen; es wäre aber schon was Sonderliches, wenn diese series lauter numeros unico modo in duo quadrata divisibiles gäbe.
フェルマーの着想
すなわち$\footnotesize 2^{2^n}+1$の形の数はすべて素数列を与える、という考えは、あなた(オイラー)がすでに示されたように、成り立ちません.
しかし、この数列のすべての項がただ一通りだけ二平方和に分解できる整数であるならば、それだけでも十分に興味深いことでしょう.

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第7章　素数和に関する予想

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Auf solche Weise will ich auch eine conjecture hazardiren : dass jede Zahl, welche aus zweyen numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum so vieler numerorum primorum sey, als man will (die unitatem mit dazu gerechnet), bis auf die congeriem omnium unitatum *); zum Exempel
このような考え方によって、私もまた一つの予想(conjecture)をあえて提案してみようと思います.
それは
二つの素数から構成される任意の数は、望むだけ多くの素数の和として表すことができる
というものです.
ただし、ここでは 1（unitas）も素数として数える ものとします.
そしてその分解はすべてを 1 のみで表した場合に至るまで可能である、というのです.
例を挙げれば次のようになります.

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第8章　具体例

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zum Exempel
$\footnotesize 4=\begin{cases} 1+3\\1+1+2\\1+1+1+1 \end{cases}$
$\footnotesize 5=\begin{cases} 2+3\\1+1+3\\1+1+1+2\\1+1+1+1+1\end{cases}$
$\footnotesize 6=\begin{cases} 1+5\\1+2+3\\1+1+1+3\\1+1+1+1+2\\1+1+1+1+1+1\end{cases}$
etc.
例えば、
4は
1+3,
1+1+2,
1+1+1+1
と表すことができます.
また5は
2+3,
1+1+3,
1+1+1+2,
1+1+1+1+1
と表すことができます.
同様に
6は
1+5,
1+2+3,
1+1+1+3,
1+1+1+1+2,
1+1+1+1+1+1
と表されます.
以下同様です(etc.)
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第9章　追記（脚注）

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(*) Nachdem ich dieses wieder durchgelesen, finde ich, dass sich die conjecture in summo rigore demonstriren lässt in casu $\footnotesize n+1$, si successerit in casu $\footnotesize n$, et $\footnotesize n+1$ dividi possit in duos numeros primos.
（＊）これをあらためて読み返してみると、この予想は完全に厳密（in summo rigore）に証明できることが分かりました.
すなわち$\footnotesize n$の場合に成り立つと仮定し、さらに$\footnotesize n+1$が二つの素数に分けられるならば$\footnotesize n+1$の場合にも成り立つことを示せます.
⸻
Die Demonstration ist sehr leicht.
この証明は非常に容易です.
⸻
Es scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grösser ist als $\footnotesize 1$, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.
少なくとも$\footnotesize 1$より大きいすべての整数は、3 個の素数の和であるように思われます.
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第10章　解析学的補遺

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Hierauf folgen ein Paar observationes, so demonstriret werden können:
これに続いて、**証明することのできる二、三の考察（observationes）**を述べます.
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Si $\footnotesize v$ sit functio ipsius $\footnotesize x$ ejusmodi, ut facta $\footnotesize v=c$ e numero cuicunque, determinari possit $\footnotesize x$ per $\footnotesize c$ et reliquas constantes in functione expressas, poterit etiam determinari valor ipsius $\footnotesize x$ in aequatione
$\footnotesize v^{2n+1}=(2v+1)(v+1)^{\,n-1}.$
もし$\footnotesize v$が変数$\footnotesize x$の関数であって、任意の数$\footnotesize c$に対して$\footnotesize v=c$と置いたとき、関数に含まれる$\footnotesize c$および他の定数によって$\footnotesize x$を決定できるならば、
方程式$\footnotesize v^{2n+1}=(2v+1)(v+1)^{\,n-1}$
における$\footnotesize x$の値もまた決定することができます.
⸻
Note marginale d’Euler:
$\footnotesize v^{2n+1}-(vv+v)(v+1)^{n-1}$ divisib.
per $\footnotesize vv-v-1$
addatur $\footnotesize (vv-v-1)(v+1)^{n-1}$
$\footnotesize v^{2n+1}-(2v+1)(v+1)^{n-1}$ divisib.
per $\footnotesize vv-v-1.$
オイラーの欄外注：
$\footnotesize v^{2n+1}-(v^2+v)(v+1)^{\,n-1}$
は$\footnotesize v^2-v-1$で割り切れます.
ここで
$\footnotesize (v^2-v-1)(v+1)^{\,n-1}$を加えると、
$\footnotesize v^{2n+1}-(2v+1)(v+1)^{\,n-1}$
もまた$\footnotesize v^2-v-1$で割り切れます.

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第11章　無限級数と曲線

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Si concipiatur curva cujus abscissa sit $\footnotesize x$, applicata vero sit summa seriei
$\footnotesize \dfrac{x^n}{n\cdot2^{xn}},$
posita $\footnotesize n$ pro exponente terminorum hoc est, applicata
$\footnotesize =\dfrac{x}{1\cdot2^2}+\dfrac{x^2}{2\cdot2^4}+\dfrac{x^3}{3\cdot2^6}+\dfrac{x^4}{4\cdot2^8}+etc.,$
横座標(abscissa)を$\footnotesize x$とし
縦座標(applicata)を級数
$\footnotesize \dfrac{x^n}{n\cdot2^{2n}}$
の和とする曲線を考えます.
すなわち、縦座標は
$\footnotesize =\dfrac{x}{1\cdot2^2}+\dfrac{x^2}{2\cdot2^4}+\dfrac{x^3}{3\cdot2^6}+\dfrac{x^4}{4\cdot2^8}+etc.,$
で与えられるものとします.

⸻
dico, si fuerit abscissa $\footnotesize 1$,
applicatam fore $\footnotesize =\dfrac13$
私は次のことを主張します.
横座標が$\footnotesize x=1$であれば
縦座標は$\footnotesize \dfrac13$となります.
⸻
nam sit haec applicata $\footnotesize =y,$
erit $\footnotesize y=l\dfrac{4}{4-x}.$
（オイラー欄外注）
この縦座標を$\footnotesize y$とおけば、
$\footnotesize y=l\dfrac{4}{4-x}.$となる.

⸻
$\footnotesize 2 …l2$
横座標が$\footnotesize x=2$であれば
縦座標は$\footnotesize \log 2$となります.
⸻
$\footnotesize 3 … 2\,l2$
横座標が$\footnotesize x=3$であれば
縦座標は$\footnotesize 2\log2$となります.
⸻
$\footnotesize 4$ vel major ….. infinitam.
Goldbach.
横座標が$\footnotesize x=4$
またはそれより大きいときには
縦座標は無限大になります.
ゴールドバッハ
⸻

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第12章　追伸（P.S.）

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P. S. Die beiden andern formulas numerorum non quadratorum, deren Ew. Erwähnung thun, habe ich noch nicht untersuchet; ich glaube aber, dass selbige, wenn man setzet
追伸
あなたが言及された**平方数ではない数（numerorum non quadratorum）**に関する二つの式については、私はまだ調べておりません.
しかし、次のように置けば、それらについても成り立つのではないかと考えています.
⸻
$\footnotesize a=hx+k,\quad b=lx+m,\quad c=nx+p$
sich wohl möchten unter nachfolgende Formul rangiren lassen, allwo $\footnotesize f,\ g,\ \gamma,\ \delta$ numeri integri affirmativi sind
$\footnotesize a=hx+k,\qquad b=lx+m,\qquad c=nx+p$
と置くとそれらは次の式の形に整理できるように思われます.
ここで$\footnotesize f,\ g,\ \gamma,\ \delta$はすべて正の整数です.
⸻
$\footnotesize (2f-4\gamma\delta)x^2-4\gamma^2+4(f-2\gamma\delta)(2g-\delta^2)x-2f+(2g-\delta^2)^2-2g$
すなわち、考えている式は
$\footnotesize (2f-4\gamma\delta)x^2-4\gamma^2+4(f-2\gamma\delta)(2g-\delta^2)x-2f+(2g-\delta^2)^2-2g$
の形になります.
⸻
denn diese kann niemals ein quadratum geben…..
なぜなら、この式は決して平方数になることがないからです.
⸻
Positis $\footnotesize m$ et $\footnotesize p$ numeris integris affirmativis, haec expressio
$\footnotesize \dfrac{p+2\pm\sqrt{(4p-m+3)}}{m}$
non potest fieri numerus integer.
$\footnotesize m$と$\footnotesize p$を正の整数とすると$\footnotesize \dfrac{p+2\pm\sqrt{\,4p-m+3\,}}{m}$
という式は整数になることはありません.
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3.  Historical supplement.
【歴史的補足】

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この書簡全体の数論史上の位置づけ

この書簡は大きく4つのテーマから成っています.

1. 多角数論（三角数・多角数表示）
2. 素数論（ゴールドバッハ予想の初出）
3. 解析学（級数・対数）
4. 二次形式・平方数の研究

このように見ると、1742年6月7日の書簡は単に「ゴールドバッハ予想」が書かれた手紙ではなく、整数論・解析学・二次形式論を横断する研究報告として非常に内容の豊かな書簡であることが分かります.
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第1章　序論と前回の議論の訂正
* 前回の書簡で用いた式の訂正
* オイラーの指摘への謝意
* 指数式・合同式の修正
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第2章　整数表示に関する新しい公式
* $\footnotesize 4mn-m-n$型の整数
* $\footnotesize v^2+v+u^2$による表示
* $\footnotesize y^2+y-x^2$への変換
* 任意の整数を$\footnotesize p^2+p\pm q^2$の形に表す定理
⸻
第3章　三角数表示定理
* 三角数との対応
* 任意の整数は 「三角数の2倍 ± 平方数」
* 任意の整数を3個の三角数の和で表す証明
* （後のガウスの Eureka 定理につながる結果）
⸻
第4章　多角数への一般化
* 多角数の一般公式$\footnotesize \dfrac{(p-2)x^2-(p-4)x}{2}$
* 三角数・四角数・六角数・七角数の考察
* 一般の多角数への拡張
⸻
第5章　数学的予想の意義
* 証明されていない命題を提示する価値
* 「予想」が新しい真理を生むという数学観
⸻
第6章　フェルマー数について
* フェルマー数$\footnotesize 2^{2^n}+1$
* フェルマー予想
* オイラーによる反例
* 二平方和表示についての考察
⸻
第7章　素数和に関する予想
* 「二つの素数から成る数」の定義
* 1を素数に含める18世紀の定義
* 任意個の素数和への分解予想
⸻
第8章　具体例
* 4 の分解
* 5 の分解
* 6 の分解
* 一般の場合
⸻
第9章　追記（脚注）
* 予想は帰納法で証明できること
* 帰納法の概略
* 「1より大きい整数は3個の素数の和」
* （弱いゴールドバッハ予想の原型）
⸻
第10章　解析学的補遺
* 証明可能な観察事項
* 関数方程式
* オイラーの欄外注
* 整除性の証明
⸻
第11章　無限級数と曲線
* 曲線の定義
* 級数$\footnotesize \sum\dfrac{x^n}{n2^{2n}}$
* オイラーによる$\footnotesize \log\dfrac4{4-x}$への変換
* 特殊値 $\footnotesize x=1,2,3,4$
⸻
第12章　追伸(P.S.)
* 平方数でない整数について
* 新しい二次形式
* 平方数にならない条件
* 整数値をとらない式
* 次書簡への橋渡し
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4. 【古典数学：原論文の講読】

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【古典数学：原論文の講読】目次：Contents

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5.  Reference【参考文献】

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https://www.e-rara.ch/download/pdf/15664105.pdf

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