【古典数学：原論文の講読】 E241「Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum.」Leonhard Euler.1760年(ニ平方和定理の証明)

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$\rm Published$  $\rm Online$  $\rm First$  $\rm (7/14/2026)$
$\rm Latest$  $\rm additions$  $\rm(7/14/2026)$
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1.  Introduction【はじめに】

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1.はじめに
この記事では
Eneström  E241
【Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum.】を紹介します.
（フェルマーの定理―4n+1 の形のすべての素数は二つの平方数の和であるの証明）
Leonh. Eulero. 1760年

執筆時期
Euler Archive / University of the Pacific では
Written Date: 1750
とされています.

発表
1750年10月15日にベルリン・アカデミーで
“De numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum”
(二平方和として表される数について)
という題で朗読された論文が、
この印刷論文の原稿であると記されています.

刊行
1754/1755年度：サンクトペテルブルク・アカデミーの『Novi Commentarii』第5巻に収録対象となる.
1760年：『Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, Vol. 5, pp. 3–13』
として正式に印刷・刊行.

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第1節　フェルマーの定理と証明の方針
第2節　冪差式と 4n+1 型素数の基本性質
第3節　冪差式の可除性の証明
第4節　冪差式から二平方和への帰着
第5節　二平方和表示の存在証明
第6節　フェルマーの定理の証明完結
第7節　証明に関する補足事項
第8節　差分列の可除性の実例
第9節　素数条件の必要性
第10節　有限差分の一般理論
第11節　第 m 階差分が一定となる定理
第12節　冪数列への有限差分の適用
第13節　有限差分の具体例
第14節　有限差分公式の一般証明
第15節　有限差分公式の総括と定理への適用
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2.   論文名

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DEMONSTRATIO
THEOREMATIS FERMATIANI
OMNEM NVMERVM PRIVM FORMAE $\footnotesize 4n+1$
ESSE SVMMAM DVORVM QVADRATORVM.
AVCTORE LEONARDO EVLERO
フェルマーが主張した
「$\footnotesize 4n+1$の形のすべての素数は二つの平方数の和である」
という定理の証明
レオンハルト・オイラー
（Leonhard Euler）
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第1節　フェルマーの定理と証明の方針

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§. 1.
Cum nuper eos effem contemplatus numeros, qui ex additione duorum quadratorum oriuntur, plures demonftraui proprietates, quibus tales numeri funt praediti: neque tamen meas meditationes eo vfque perducere licuit, vt huius theorematis, quod Fermatius olim Geometris demonftrandum propofuit, veritatem folide oftendere potuiffem.
§. 1.
最近私は二つの平方数の和として生じる数について考察していたところ、そのような数が備えている多くの性質を証明した.
しかしその研究をさらに進めて、かつてフェルマーが幾何学者たちに証明すべき問題として提示したこの定理の真理を厳密に示すところまでは到達できなかった.
⸻
Tentamen tamen demonftrationis tum expofui, vnde certitudo huius theorematis multo luculentius elucet, etiamfi criteriis rigidae demonftrationis deftituatur: neque dubitaui, quin iisdem veftigis infiftendo tandem demonftratio defiderata facilius obtineri poffit; quod quidem ex eo tempore mihi ipfi vfu venit; ita, vt tentamen illud, fi alia quaedam leuis confideratio accedat, in rigidam demonftrationem abeat.
しかし私は当時、この定理について一つの証明の試みを公表した.その試みによって、この定理の確実性ははるかに明瞭になったものの、それはなお厳密な証明の基準を満たしてはいなかった.それでも私は、同じ道筋をたどれば、やがて求められている証明により容易に到達できると確信していた.実際、その後私はまさにそのことを経験し、その試みはさらにあるわずかな考察を加えるだけで、厳密な証明へと発展することになった.
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Nihil quidem noui in hac re me praeftitiffe gloriari poffum, cum ipfe Fermatius iam demonftrationem huius theorematis elicuiffe fe profeffatur: verum, quod eam nusquam publici iuris fecit, eius iactura perinde ac plurimorum aliorum egregiorum huius viri inuentorum efficit, vt, quae nunc demum de his deperditis rebus quafi recuperamus, ea non immerito pro nouis inuentis habeantur.
この件について私が何か新しいことを成し遂げたと誇ることはできない.というのも、フェルマー自身が、すでにこの定理の証明を得たと述べているからである.しかし、その証明を彼はどこにも公表しなかった.そのため、その証明は、この偉大な人物による数多くの優れた発見と同様に失われてしまった.したがって、私たちが今ようやく、それら失われた成果をいわば取り戻したものは、新しい発見として扱われても決して不当ではない.
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Cum enim nemo vnquam tam feliciter in arcana numerorum penetrauerit, quam Fermatius, omnis opera in hac scientia vlterius excolenda fruftra impendi videretur, nifi ante, quae ab hoc excellenti Viro iam fuerunt inueaftigata, quafi de nouo in lucem protrahantur.
というのも、フェルマーほど幸福にも数の奥義へ深く到達した者はこれまで誰一人としていなかったので、この学問をさらに発展させようとするあらゆる努力も、この卓越した人物によってすでに研究されていた事柄を、あたかも新たに世に現れたものとして明らかにするのでなければ、無益なものと思われるからである.
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Etfi enim poft eum plures Viri docti in hoc ftudiorum genere vires fuas exercuerunt; nihil tamen plerumque fint confecuti, quod cum ingenio huius Viri comparari poffet.
実際、彼の後にも多くの学者がこの研究分野で力を尽くしたが、その多くは、この偉大な人物の才能に比べ得るような成果を挙げることはできなかった.
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第2節　冪差式と 4n+1 型素数の基本性質

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§. 2.
Vt autem demonftrationem theorematis, quod hic confidero, infituam, duas propofitiones in fubfidium vocari oportet, quarum demonftrationem iam alibi dedi.
§. 2.
さて、ここで扱う定理の証明を始めるにあたり、二つの命題を補助として用いる必要がある.それらの証明は、私はすでに別の論文で与えている.
⸻
Altera eft, quod omnes numeri, qui funt diuifores fummae duorum quadratorum inter fe primorum, ipfi fint fummae duorum quadratorum;
第一の命題は、互いに素である二つの平方数の和の約数は、すべてそれ自身も二つの平方数の和である、というものである.
⸻
fic fi $\footnotesize a$ et $\footnotesize b$ fint numeri inter fe primi, atque numeri ex iis formati $\footnotesize aa + bb$ diuifor fit $\footnotesize d$, erit quoque $\footnotesize d$ fumma duorum quadratorum:
すなわち、もし$\footnotesize a$と$\footnotesize b$が互いに素な整数であり、それらから作られる数$\footnotesize a^2+b^2$の約数が$\footnotesize d$であるならば$\footnotesize d$もまた二つの平方数の和となる.
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huius theorematis demonftrationem dedi in fcripto ante memorato, quo numeros, qui funt duorum quadratorum fummae, fum contemplatus.
この定理の証明は、先に述べた、二つの平方数の和となる数について考察した論文の中で与えている.
⸻
Altera propofitio, qua demonftratio fequens indiget, ita fe habet:
続いて用いるもう一つの命題は、次のようなものである.
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fi p fit numerus primus, atque $\footnotesize a$ et $\footnotesize b$ numeri quicunque per $\footnotesize p$ non diuifibiles, erit femper $\footnotesize a^{(p−1)}−b^{(p−1)}$ per numerum primum $\footnotesize p$ diuifibilis.
もし$\footnotesize p$が素数であり$\footnotesize a$と$\footnotesize b$がともに$\footnotesize p$で割り切れない整数であれば、常に$\footnotesize a^{(p−1)}−b^{(p−1)}$は素数$\footnotesize p$で割り切れる.
⸻
demonftrationem huius rei iam dudum in Comment. Acad. Petrop. Tom. VIII dedi.
この命題の証明は、私はすでに Comment. Acad. Petrop. Tom. VIII において与えている.
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第3節　冪差式の可除性の証明

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§. 3.
Quodfi iam $\footnotesize 4n+1$ fit numerus primus, per eum omnes numeri, in hac forma $\footnotesize a^{4n}-b^{4n}$ contenti erunt diuifibiles, fiquidem neuter numerorum $\footnotesize a$ et $\footnotesize b$ feorfim per $\footnotesize 4n+1$ fierit diuifibilis.
§. 3.
さて$\footnotesize 4n+1$が素数であるとすると、この形
$\footnotesize a^{4n}-b^{4n}$のすべての数は$\footnotesize 4n+1$で割り切れる.ただし$\footnotesize a$と$\footnotesize b$のいずれも$\footnotesize 4n+1$で割り切れないものとする.
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Quare fi $\footnotesize a$ et $\footnotesize b$ fint numeri minores, quam $\footnotesize 4n+1$, (cyphra tamen excepta), numerus inde formatus $\footnotesize a^{4n}-b^{4n}$ fine vlla limitatione per numerum primum propofitum $\footnotesize 4n+1$ erit diuifibilis.
したがって、もし$\footnotesize a$と$\footnotesize b$が$\footnotesize 4n+1$より小さい整数であり(ただし$\footnotesize 0$は除く)そのとき作られる数$\footnotesize a^{4n}−b^{4n}$は、何の制限もなく、与えられた素数$\footnotesize 4n+1$で割り切れる.
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Cum autem $\footnotesize a^{4n}−b^{4n}$ fit productum horum factorum, $\footnotesize a^{2n}+b^{2n}$ et $\footnotesize a^{2n}-b^{2n}$, neceffe eft, vt alteruter horum factorum fit per $\footnotesize 4n+1$ diuifibilis; fieri enim nequit, vt vel neuter, vel vterque fimul diuiforem habeat $\footnotesize 4n+1$.
ところで$\footnotesize a^{4n}−b^{4n}$は$\footnotesize a^{2n}+b^{2n}$,$\footnotesize a^{2n}-b^{2n}$
という二つの因子の積であるから、この二つの因子のいずれか一方は$\footnotesize 4n+1$で割り切れなければならない.というのも、両方とも割り切れないことも、また両方とも同時に$\footnotesize 4n+1$を約数にもつこともあり得ないからである.
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Quodfi iam demonftrari poffet, dari cafus, quibus forma $\footnotesize a^{2n}+b^{2n}$ fit diuifibilis per $\footnotesize 4n+1$, quoniam $\footnotesize a^{2n}+b^{2n}$, ob exponentem $\footnotesize 2n$ parem, eft fumma duorum quadratorum; quorum neutrum feorfim per $\footnotesize 4n+1$ diuifibile exiftit, inde fequeretur, hunc numerum $\footnotesize 4n+1$ effe fummam duorum quadratorum.
そこでもし$\footnotesize a^{2n}+b^{2n}$が$\footnotesize 4n+1$で割り切れるような場合が存在することを示すことができれば$\footnotesize 2n$は偶数であるから $\footnotesize a^{2n}$と$\footnotesize b^{2n}$は平方数となり$\footnotesize a^{2n}+b^{2n}$は二つの平方数の和である.
またその二つの平方数はいずれも単独では$\footnotesize 4n+1$で割り切れない.したがって第2節で述べた補助命題より$\footnotesize 4n+1$自身が二つの平方数の和であることが従う.
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第4節　冪差式から二平方和への帰着

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§. 4.
Verum fumma $\footnotesize a^{2n}+b^{2n}$ toties erit per $\footnotesize 4n+1$ diuifibilis, quoties differentia $\footnotesize a^{2n}-b^{2n}$ per eundem numerum non eft diuifibilis.
§. 4.
しかし$\footnotesize a^{2n}+b^{2n}$は$\footnotesize a^{2n}-b^{2n}$が同じ数$\footnotesize 4n+1$で割り切れない場合には必ず$\footnotesize 4n+1$で割り切れる.
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Quare qui negauerit, numerum primum $\footnotesize 4n+1$ effe fummam duorum quadratorum, is negare cogitur, vllum numerum huius formae $\footnotesize a^{2n}+b^{2n}$ per $\footnotesize 4n+1$ effe diuifibilem:
したがって$\footnotesize 4n+1$型の素数が二つの平方数の和であることを否定する者は、この形$\footnotesize a^{2n}+b^{2n}$の数で$\footnotesize 4n+1$によって割り切れるものは一つも存在しない、と主張せざるを得ない.
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eundem propterea affirmare oportet, omnes numeros in hac forma $\footnotesize a^{2n}-b^{2n}$ contentos per $\footnotesize 4n+1$ effe diuifibiles; fiquidem neque $\footnotesize a$, neque $\footnotesize b$ per $\footnotesize 4n+1$ fit diuifibile.
したがって、その人はさらに$\footnotesize a$も$\footnotesize b$も$\footnotesize 4n+1$で割り切れない限り、この形$\footnotesize a^{2n}-b^{2n}$のすべての数が$\footnotesize 4n+1$で割り切れる、と主張しなければならない.
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Quamobrem mihi hic demonftrandum eft, non omnes numeros in forma $\footnotesize a^{2n}-b^{2n}$ contentos per $\footnotesize 4n+1$ effe diuifibiles;
したがって、私がここで証明すべきことは、この形$\footnotesize a^{2n}-b^{2n}$のすべての数が$\footnotesize 4n+1$で割り切れるわけではない、ということである.
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hoc enim fi praeftitero, certum erit, dari cafus, feu numeros pro $\footnotesize a$  et $\footnotesize b$  fubftituendos, quibus forma $\footnotesize a^{2n}-b^{2n}$ non fit per $\footnotesize 4n+1$ diuifibilis; illis ergo cafibus altera forma $\footnotesize a^{2n}+b^{2n}$ neceffario per $\footnotesize 4n+1$ erit diuifibilis: vnde cum $\footnotesize a^{2n}$  et $\footnotesize b^{2n}$  fint numeri quadrati, conficietur id, quod proponitur,
というのも、これを証明できれば$\footnotesize a$ と$\footnotesize b$に適当な整数を代入したとき$\footnotesize a^{2n}-b^{2n}$が$\footnotesize 4n+1$で割り切れない場合が確かに存在することになる.そのような場合には、もう一方の$\footnotesize a^{2n}+b^{2n}$は必然的に$\footnotesize 4n+1$で割り切れる.そして$\footnotesize a^{2n}$ と$\footnotesize b^{2n}$ は平方数であるから、本論文で証明しようとしている命題が従う.
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fcilicet numerum $\footnotesize 4n+1$ effe fummam duorum quadratorum.
すなわち、数$\footnotesize 4n+1$は二つの平方数の和である、ということである.
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第5節　二平方和表示の存在証明

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§. 5.
Vt igitur demonftrem, non omnes numeros in hac forma $\footnotesize a^{2n}-b^{2n}$ contentos, feu non omnes differentias inter binas poteftates dignitatis $\footnotesize 2n$ effe per $\footnotesize 4n+1$ diuifibiles, confiderabo feriem harum poteftatum ab vnitate vfque ad eam, quae a radice $\footnotesize 4n$ formatur.
§. 5.
したがって、この形$\footnotesize a^{2n}-b^{2n}$の数、すなわち$\footnotesize 2n$乗どうしの差がすべて$\footnotesize 4n+1$で割り切れるわけではないことを示すために、私は$\footnotesize 1$から$\footnotesize 4n$を底とする冪までの列を考察する.
⸻
$\footnotesize 1, 2^{2n}, 3^{2n}, 4^{2n}, 5^{2n}, 6^{2n},…(4n)^{2n}$
$\footnotesize 1,\;2^{2n},\;3^{2n},\;4^{2n},\;5^{2n},\;6^{2n},\;\ldots,\;(4n)^{2n}$
⸻
ac iam dico, non omnes differentias inter binos terminos huius feriei effe per $\footnotesize 4n+1$ diuifibiles.
そして私は、この数列の任意の二項の差がすべて$\footnotesize 4n+1$で割り切れるわけではない、と主張する.
⸻
Si enim fingulae differentiae primae per 4n+1 effent diuifibiles,$\footnotesize 2^{2n}-1;\;3^{2n}-2^{2n};\;4^{2n}-3^{2n};\;5^{2n}-4^{2n};\;\ldots\;(4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}$
というのも、もし第一差分がすべてがすべて$\footnotesize 4n+1$で割り切れるとすれば、
$\footnotesize 2^{2n}-1,\;3^{2n}-2^{2n},\;4^{2n}-3^{2n},\;5^{2n}-4^{2n},\;\ldots,\;(4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}$
⸻
etiam differentiae huius progreffionis, quae funt differentiae fecundae illius feriei per $\footnotesize 4n+1$ effent diuifibiles:
その差分列の差、すなわち元の数列の第二差分もまた$\footnotesize 4n+1$で割り切れることになる.
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atque ob eandem rationem differentiae tertiae, quartae, quintae etc. omnes forent per $\footnotesize 4n+1$ diuifibiles;
さらに、同じ理由によって、第三差分、第四差分、第五差分なども$\footnotesize 4n+1$で割り切れることになる.
⸻
ac denique etiam differentiae ordinis $\footnotesize 2n$, quae funt, vt conftat, omnes inter fe aequales.
そして最後には、第$\footnotesize 2n$次差分もまた$\footnotesize 4n+1$で割り切れることになる.この第$\footnotesize 2n$次差分はよく知られているようにすべて互いに等しい.
⸻
Differentiae autem ordinis $\footnotesize 2n$ funt
$\footnotesize = 1. 2. 3. 4. . . . . . . . . 2n,$
ところが、第$\footnotesize 2n$次差分は
$\footnotesize 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots2n$
すなわち$\footnotesize (2n)!$に等しい.
⸻
quae ergo per numerum primum $\footnotesize 4n+1$ non funt diuifibiles,
したがって、これは素数$\footnotesize 4n+1$では割り切れない.
⸻
ex quo viciffim fequitur, ne omnes quidem differentias primas per $\footnotesize 4n+1$ effe diuifibiles.
このことから逆に、第一差分ですらすべてが$\footnotesize 4n+1$で割り切れるわけではないことが従う.
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第6節　フェルマーの定理の証明完結

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§. 6.
Quo vis huius demonftrationis melius perfpiciatur, notandum eft, differentiam ordinis $\footnotesize 2n$ produci ex $\footnotesize 2n+1$ terminis feriei propofitae;
§. 6.
この証明の要点をより明瞭に理解するために、第$\footnotesize 2n$次差分は、与えられた数列の$\footnotesize 2n+1$個の項から作られることに注意すべきである.
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qui fi ab initio capiantur, omnes ita funt comparati, vt binorum quorumuis differentiae per $\footnotesize 4n+1$ diuifibiles effe debeant, fi theorematis veritas negetur.
これらの項を数列の初めから取るならば、もしこの定理の真実を否定するのであれば、それらの任意の二項の差はすべて$\footnotesize 4n+1$で割り切れることにならなければならない.
⸻
Sin autem plures termini ad hanc differentiam vltimam confituendam concurrerent, iique vltra terminum $\footnotesize (4n)^{2n}$ procederentur, quoniam differentiae a termino fequente $\footnotesize (4n+1)^{2n}$ ortae ad enunciata theorematis non pertinent, demonftratio nullam vim retineret.
しかし、もしこの最後の差分を作るためにさらに多くの項が必要であり、その項が$\footnotesize (4n)^{2n}$を越えて進み、次の項$\footnotesize (4n+1)^{2n}$に由来する差分まで含まれるとすれば、それらはこの定理の主張には属さないので、この証明は何の効力も持たなくなる.
⸻
Hinc autem, quod differentia vltima, quam fumus contemplati, tantum ab $\footnotesize 2n+1$ terminis pendet, conclufio, quam inde deduximus, omnino eft legitima;
しかし、われわれが考察した最後の差分は、わずか$\footnotesize 2n+1$個の項のみに依存するので、そこから導いた結論は完全に正当である.
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indeque fequitur, dari differentias primas, veluti $\footnotesize a^{2n}-(a-1)^{2n}$, quae non fint per $\footnotesize 4n+1$ diuifibiles, atque ita quidem, vt $\footnotesize a$ non fit maior, quam $\footnotesize 2n+1.$
したがって、例えば$\footnotesize a^{2n}-(a-1)^{2n}$
のような第一差分の中には$\footnotesize 4n+1$で割り切れないものが存在する.そして、そのような$\footnotesize a$は$\footnotesize 2n+1$を超えないように選ぶことができる.
⸻
Hinc autem porro recte infertur, fummam $\footnotesize a^{2n}+(a-1)^{2n}$, ideoque fummam duorum quadratorum per $\footnotesize 4n+1$ neceffario effe diuifibilem:
ここからさらに、和$\footnotesize a^{2n}+(a-1)^{2n}$
すなわち二つの平方数の和は、必然的に$\footnotesize 4n+1$で割り切れることが導かれる.
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ideoque numerum primum $\footnotesize 4n+1$ fummam effe duorum quadratorum.
したがって素数$\footnotesize 4n+1$は二つの平方数の和である.
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第7節　証明に関する補足事項

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§. 7.
Quoniam differentia ordinis $\footnotesize 2n$ ab $\footnotesize 2n+1$ terminis feriei poteftatum pendet, totidem tantum ab initio captos confideremus
§. 7.
第$\footnotesize 2n$次差分は数列の$\footnotesize 2n+1$項だけによって決まるので、数列の最初の$\footnotesize 2n+1$項だけを考えれば十分である.
⸻
$\footnotesize 1;\ 2^{2n};\ 3^{2n};\ 4^{2n};\ 5^{2n};\ 6^{2n}\ \ldots\ (2n)^{2n};\ (2n+1)^{2n}$
⸻
vnde differentiae primae erunt :
$\footnotesize 2^{2n}-1;\ 3^{2n}-2^{2n};\ 4^{2n}-3^{2n};\ 5^{2n}-4^{2n};\ \ldots\ ;\ (2n+1)^{2n}-(2n)^{2n},$
cuius progrefsionis terminorum numerus eft $\footnotesize =2n.$
ここから第一差分は
$\footnotesize 2^{2n}-1;\ 3^{2n}-2^{2n};\ 4^{2n}-3^{2n};\ 5^{2n}-4^{2n};\ \ldots\ ;\ (2n+1)^{2n}-(2n)^{2n},$
となる.
そして、この差分列の項数は$\footnotesize 2n$個である.
⸻
Ex demonftratione itaque praecedente patet, non omnes terminos huius progrefsionis differentiarum effe per numerum primum $\footnotesize 4n+1$ diuifibiles;
したがって、前節の証明から、この差分列のすべての項が素数$\footnotesize 4n+1$で割り切れるわけではないことが明らかである.
⸻
neque tamen hinc intelligimus, quot et quinam fint illi termini, per $\footnotesize 4n+1$ non diuifibiles.
しかし、このことだけからは$\footnotesize 4n+1$で割り切れない項がいくつ存在するのか、またそれがどの項であるのかまでは分からない.
⸻
Ad demonftrationem enim fufficit, fi vel vnicus terminus, quisquis ille fit, per $\footnotesize 4n+1$ non fit diuifibilis.
というのも、この証明には、どの項であるかは問わず、ただ一つでも$\footnotesize 4n+1$で割り切れない項が存在すれば十分だからである.
⸻
Quodfi autem cafus fpeciales euoluamus, quibus $\footnotesize 4n+1$ eft numerus primus,ex differentiis illis, quarum numerus eft $\footnotesize = 2n$, reperiemus, femper femiffem effe per $\footnotesize 4n+1$ diuifibilem, alterum vero femiffem non diuifibilem:
しかし$\footnotesize 4n+1$が素数となる具体的な場合を詳しく調べてみると、素数である場合には、それら$\footnotesize 2n$個の差分の中で、常に半数は$\footnotesize 4n+1$で割り切れ、残りの半数は割り切れないことが分かる.
⸻
quae obferuatio etfi ad vim demonftrationis non fpectat, tamen ad eam illuftrandam non parum confert, quare aliquot cafus fpeciales ad examen reuocaffe iuuabit.
この観察は証明そのものの効力には直接関係しないが、その内容を理解しやすくするうえで大いに役立つ.そこで、いくつかの具体例を調べてみることにしよう.
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第8節　差分列の可除性の実例

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§. 8.
Minimus numerus primus formae $\footnotesize 4n+1$ eft $\footnotesize = 5$, qui oritur, fi $\footnotesize n = 1;$
§. 8.
$\footnotesize 4n+1$形の最小の素数は$\footnotesize 5$であり、これは$\footnotesize n=1$のときに得られる.
⸻
vnde duae habebuntur differentiae $\footnotesize 2^2-1$ et $\footnotesize 3^2-2^2$, quarum prior non eft diuifibilis per $\footnotesize 5$; altera vero eft diuifibilis.
したがって二つの差$\footnotesize 2^2-1,3^2-2^2$が得られる.このうち前者は$\footnotesize 5$で割り切れず、後者は$\footnotesize 5$で割り切れる.
⸻
Pro reliquis cafibus vtamur figno d ad eas differentias indicandas, quae funt diuifibiles, at figno ○ eas notemus, quae non funt diuifibiles, quae figna differentiis pro quouis cafu fubfcribamus;
残りの場合については、d を「割り切れる差」を表す記号とし、○ を「割り切れない差」を表す記号として用いることにしよう.そして、それぞれの場合について、その記号を各差の下に付すことにする.
⸻
表（第1行：$${\footnotesize 4n+1=5）
Differentiae
$\footnotesize 2^2-1;\quad 3^2-2^2;\quad 4^2-3^2;\quad 5^2-4^2;\quad 6^2-5^2;\quad 7^2-6^2;$
○　　○　　d　　○　　d　　d

差分は
$\footnotesize 2^2-1,\;3^2-2^2,\;4^2-3^2,\;5^2-4^2,\;6^2-5^2,\;7^2-6^2$
であり、
* ○ = 5で割り切れない
* d = 5で割り切れる
を表す.
したがって
$\footnotesize 2^2-1$ ○
$\footnotesize 3^2-2^2$ ○
$\footnotesize 4^2-3^2$ d
$\footnotesize 5^2-4^2$ ○
$\footnotesize 6^2-5^2$ d
$\footnotesize 7^2-6^2$ d
⸻
表（第2行：$${\footnotesize 4n+1=17）
$\footnotesize 2^4-1;\;3^4-2^4;\;4^4-3^4;\;5^4-4^4\;6^4-5^4;\;7^4-6^4;\;8^4-7^4;\;9^4-8^4;$
d　　○　　○　　○　　d　　d　　○　　d
$\footnotesize 2^4-1$ d
$\footnotesize 3^4-2^4$ ○
$\footnotesize 4^4-3^4$ ○
$\footnotesize 5^4-4^4$ ○
$\footnotesize 6^4-5^4$ d
$\footnotesize 7^4-6^4$ d
$\footnotesize 8^4-7^4$ ○
$\footnotesize 9^4-8^4$ d
⸻
表（第3行：$${\footnotesize 4n+1=29）
$\footnotesize 2^6-1;\;3^6-2^6;\;4^6-3^6;\;5^6-4^6;\;6^6-5^6;\;7^6-6^6;\;8^6-7^6;\;9^6-8^6;$
○　　d　　○　　d　　d　　d　　○　　○
$\footnotesize 10^6-9^6;\;11^6-10^6;\;12^6-11^6;\;13^6-12^6;\;14^6-13^6;\;15^6-14^6;$
○　　d　　d　　○　　○　　d
29 の場合は 14 個の第一差分を調べ、
前半 8 項
$\footnotesize 2^6-1$ ○
$\footnotesize 3^6-2^6$ d
$\footnotesize 4^6-3^6$ ○
$\footnotesize 5^6-4^6$ d
$\footnotesize 6^6-5^6$ d
$\footnotesize 7^6-6^6$ d
$\footnotesize 8^6-7^6$ ○
$\footnotesize 9^6-8^6$ ○
⸻
後半 6 項
$\footnotesize 10^6-9^6$ ○
$\footnotesize 11^6-10^6$ d
$\footnotesize 12^6-11^6$ d
$\footnotesize 13^6-12^6$ ○
$\footnotesize 14^6-13^6$ ○
$\footnotesize 15^6-14^6$ d
⸻
Hinc patet, terminos diuiſibiles et non diuiſibiles nulla certa lege contineri, etiamſi vtrique ſint multitudine pares; tamen per ſe eſt perſpicuum, vltimum terminum $\footnotesize (2n+1)^{2n}−2n^{2n}$ ſemper per $\footnotesize 4n+1$ eſſe diuiſibilem, quia factorem habet $\footnotesize (2n+1)^2-4nn= 4n+1$; at de reliquis nihil certi ſtatui poteſt.
ここから分かることは、割り切れる項と割り切れない項とは、一定の法則に従って並んでいるわけではなく、しかも両者の個数は等しいのである.
しかしながら、それ自体として明らかなことが一つある.
最後の項$\footnotesize (2n+1)^{2n}−2n^{2n}$は、常に$\footnotesize 4n+1$
で割り切れる.
なぜなら、この差は$\footnotesize 4n+1$
を因数にもつからである.
しかし、それ以外の各項については、一般に確定したことは何も言えない.
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第9節　素数条件の必要性

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§. 9.
Porro quoque ad vim demonſtrationis penitius perſpiciendam notari oportet, demonſtrationem tum ſolum locum habere, ſi numerus $\footnotesize 4 n + 1$ ſit primus, prorfus vti natura theorematis poſtulat.
§. 9.
さらに、この証明の意味をより深く理解するためには、次のことを注意しておかなければならない.
すなわち、この証明が成り立つのは、数$\footnotesize 4n+1$が素数である場合に限られるのであって、これはまさにこの定理の性質そのものが要求していることである.
⸻
Nam ſi $\footnotesize 4 n + 1$ non eſſet numerus primus, neque de eo affirmari poſſet, quod ſit ſumma duorum quadratorum, neque forma $\footnotesize a^{4n}-b^{4n}$ per eum eſſe neceſſario diuiſibilis.
というのも、もし$\footnotesize 4n+1$が素数でなければ、それが二平方和であるとは主張できず、また $\footnotesize a^{4n}-b^{4n}$が必ずその数で割り切れるとも主張できないからである.
⸻
Quin etiam vltima concluſio foret falſa, qua pronunciauimus, differentias illas ordinis $\footnotesize 2n$, quae ſunt $\footnotesize 1. 2. 3. 4. … 2n$, non eſſe per $\footnotesize 4n + 1$ diuiſibiles.
さらに、われわれが述べた最後の結論、すなわち
「次数$\footnotesize 2n$の差分$\footnotesize 1,2,3,4,\ldots,2n$
はいずれも$\footnotesize 4n+1$では割り切れない」
という結論もまた、偽になってしまう.
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Si enim $\footnotesize 4n+1$ non eſſet numerus primus, ſed factores haberet, qui eſſent minores, quam 2n}$$, tum vtique productum $\footnotesize 1. 2. 3. 4. . . . . . 2n$ hos factores contineret, foretque idcirco per $\footnotesize 4n+1$ diuiſibile.
というのも、もし$\footnotesize 4n+1$が素数ではなく、しかも$\footnotesize 2n$より小さい因数をもっているならば、
積$\footnotesize 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots2n$
は当然それらの因数を含むことになり、その結果、この積は $\footnotesize 4n+1$で割り切れることになるからである.
⸻
At ſi $\footnotesize 4n+1$ eſt numerus primus, tum demum affirmare licet, productum $\footnotesize 1. 2. 3. 4. . . . . . 2+n$ plane non eſſe per $\footnotesize 4n+1$ diuiſibile:
しかし$\footnotesize 4n+1$が素数であるならば、そのとき初めて、
$\footnotesize 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots2n$
という積は、決して$\footnotesize 4n+1$では割り切れないと断言することができる.
⸻
quia hoc productum per nullos alios numeros diuidi poteſt, niſi qui tanquam factores in illud ingrediuntur.
なぜなら、この積を割ることのできる数は、この積を構成する因数として実際に含まれている数以外には存在しないからである.
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第10節　有限差分の一般理論

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§. 10.
Cum denique demonſtratio tradita hoc nitatur fundamento, quod ſeriei poteſtatum $\footnotesize 1,\;2^{2n},\;3^{2n},\;4^{2n},$ etc. differentiae ordinis $\footnotesize 2n$ ſint conſtantes, omneſque =$\footnotesize 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots2n$,
hoc vberius explicandum videtur, etſi paſſim in libris analyticorum ſolide expoſitum reperitur.
最後にこの証明は$\footnotesize 1,\;2^{2n},\;3^{2n},\;4^{2n},\ldots$
という冪の数列において第$\footnotesize 2n$階差が一定であり、その値が常に$\footnotesize 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots2n$
になるという事実を基礎としている.
このことは解析学の書物には各所で十分に説明されているが、ここでもさらに詳しく説明しておくのが適当であろう.
⸻
Primum igitur notandum eſt, ſi ſeriei cuiuscunque terminus generalis, ſeu is qui exponenti indefinito $\footnotesize x$ reſpondet, ſit
$\footnotesize = Axᵐ + Bxᵐ⁻¹ + Cxᵐ⁻² + Dxᵐ⁻³ + Exᵐ⁻⁴+$ etc.
hanc ſeriem ad gradum $\footnotesize m$ referri, quia $\footnotesize m$ eſt exponens maximae poteſtatis ipſius $\footnotesize x.$
まず第一に注意すべきことは、任意の数列の一般項、すなわち不定変数$\footnotesize x$に対応する項が
$\footnotesize Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+Dx^{m-3}+Ex^{m-4}+\cdots$
という形で表されるならば、
この数列は次数$\footnotesize m$の数列と呼ばれる.
その理由は、変数$\footnotesize x$の最高冪の指数が$\footnotesize m$だからである.
⸻
Deinde ſi hic terminus generalis a ſequente
$\footnotesize A(x+1)ᵐ + B(x+1)ᵐ⁻¹ + C(x+1)ᵐ⁻² +etc$. ſubtrahatur, prodibit terminus generalis ſeriei differentiarum; in quo exponens ſummae poteſtatis ipſius $\footnotesize x$ erit $\footnotesize = m−1$, ideoque ſeries differentiarum ad gradum inferiorem $\footnotesize m−1$ pertinebit.
次に、この一般項に続く項、すなわち
$\footnotesize A(x+1)^m+B(x+1)^{m-1}+C(x+1)^{m-2}+\cdots$
を考える.
以下同様の項を引き算すると、差分数列(第一差分)の一般項が得られる.
そこでは、変数$\footnotesize x$の最高冪指数は$\footnotesize m-1$となる.
したがって、この差分数列は次数$\footnotesize m-1$の数列に属する.
⸻
Pari modo ex termino generali ſeriei differentiarum primarum colligetur terminus generalis ſeriei differentiarum secundarum; qui igitur denuo ad gradum depreſſiorem $\footnotesize m−2$ pertinebit.
同様に、第一差分数列の一般項から第二差分数列の一般項が得られる.
したがって、その次数はさらに一つ下がって
$\footnotesize m-2$となる.
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第11節　第 m 階差分が一定となる定理

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§. 11.
Ita ſi ſeries propoſita ad gradum $\footnotesize m$ referatur; ſeries differentiarum primarum, ad gradum $\footnotesize m − 1$ referetur; ſeries porro differentiarum secundarum ad gradum $\footnotesize m − 2$; ſeries differentiarum tertiarum ad gradum $\footnotesize m − 3$; ſeries differentiarum quartarum ad gradum $\footnotesize m − 4$; et in genere ſeries differentiarum ordinis $\footnotesize n$ ad gradum $\footnotesize m − n$ pertinebit.
したがって、元の数列が次数$\footnotesize m$であれば、
第一差分は次数$\footnotesize m-1,$第二差分は$\footnotesize m-2,$
第三差分は$\footnotesize m-3,$第四差分は$\footnotesize m-4,$
一般には、第$\footnotesize n$階差分は次数
$\footnotesize m-n$の数列となる.
⸻
Vnde ſeries differentiarum ordinis $\footnotesize m$ ad gradum $\footnotesize m − m = 0$ perueniet, eiusque ergo terminus generalis, quia ſumma ipſius $\footnotesize x$ poteſtas eſt $\footnotesize = x⁰ = 1$, erit quantitas conſtans, ideoque omnes differentiae ordinis $\footnotesize m$ inter ſe erunt aequales.
したがって第$\footnotesize m$階差分は次数$\footnotesize m-m=0$に到達する.
ゆえにその一般項は、最高冪が$\footnotesize x^0=1$となるので定数となる.
したがって第$\footnotesize m$階差分はすべて互いに等しい.
⸻
Hinc ſerierum primi gradus, quarum terminus generalis eſt $\footnotesize = Ax + B$, iam differentiae primae ſunt inter ſe aequales: ſerierum autem ſecundi gradus, quae hoc termino generali $\footnotesize Ax² + Bx + C$ continentur, differentiae ſecundae ſunt aequales, et ita porro.
このことから一般項$\footnotesize Ax+B$をもつ一次数列では、第一差分はすべて等しい.
また、一般項$\footnotesize Ax^2+Bx+C$をもつ二次数列では、第二差分がすべて等しい.
以下同様である.
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第12節　冪数列の有限差分

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§. 12.
Quodſi ergo ſeriem quamcunque poteſtatum conſideremus
そこで、任意の冪数列を考えるとしよう.
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$\footnotesize 1, 2ᵐ, 3ᵐ, 4ᵐ, 5ᵐ, 6ᵐ, 7ᵐ, 8ᵐ$ etc.
$\footnotesize 1, 2ᵐ, 3ᵐ, 4ᵐ, 5ᵐ, 6ᵐ, 7ᵐ, 8ᵐ\ldots$
という数列である.
⸻
cuius terminus generalis eſt $\footnotesize = xᵐ$, ſeu is, qui indici $\footnotesize x$ reſpondet,
この数列の一般項は$\footnotesize x^{m}$であり
すなわち添字$\footnotesize x$に対応する項である.
⸻
ſeries differentiarum ordinis $\footnotesize m$ ex terminis inter ſe aequalibus conſtabit.
すると、この数列の第$\footnotesize m$階差分は、互いに等しい項だけから成る数列となる.
⸻
At ſeriei differentiarum primarum terminus generalis erit $\footnotesize = (x + 1)ᵐ − xᵐ;$
さて、この数列の第一差分の一般項は
$\footnotesize (x+1)^m-x^m$となる.
⸻
qui a ſequente $\footnotesize (x+2)^m-(x+1)^m$ ſubtractus dabit terminum generalem ſeriei differentiarum ſecundarum,
qui erit $\footnotesize =(x+2)^m-2(x+1)^m+x^m.$

次の項$\footnotesize (x+2)^m-(x+1)^m$から前の差を引くと、第二差分列の一般項が得られる.
それは$\footnotesize (x+2)^m-2(x+1)^m+x^m$である.
⸻
Hinc porro ſeriei differentiarum tertiarum erit terminus generalis
$\footnotesize =(x+3)^m-3(x+2)^m+3(x+1)^m-x^m;$
したがって第三差分列の一般項は
$\footnotesize (x+3)^m-3(x+2)^m+3(x+1)^m-x^m$となる.
⸻
ac tandem ſeriei differentiarum ordinis $\footnotesize m$ concluditur terminus generalis
$\footnotesize =(x+m)^m-m(x+m-1)^m+\dfrac{m(m-1)}{1.2}(x+m-2)^m-\dfrac{m(m-1)(m-2)}{1.2.3}(x+m-3)^m+$ etc.
さらに最後には、第$\footnotesize m$次差分列の一般項は
$\footnotesize (x+m)^m-m(x+m-1)^m+\dfrac{m(m-1)}{1\cdot2}(x+m-2)^m-\dfrac{m(m-1)(m-2)}{1\cdot2\cdot3}(x+m-3)^m+\cdots$
と表される.
⸻
qui cum ſit quantitas conſtans, idem erit quicunque numerus pro $\footnotesize x$ ſubſtituatur, erit ergo vel
$\footnotesize =m^m-m(m-1)^m+\dfrac{m(m-1)}{1.2}(m-2)^m-\dfrac{m(m-1)(m-2)}{1.2.3}(m-3)^m+$ etc.
この量は定数であるから$\footnotesize x$にどのような数を代入しても同じ値を与える.
したがって例えば
$\footnotesize m^m-m(m-1)^m+\dfrac{m(m-1)}{1.2}(m-2)^m-\dfrac{m(m-1)(m-2)}{1.2.3}(m-3)^m+\cdots$
と書くことができる.
⸻
vel
$\footnotesize =(m+1)^m-m.m^m+\dfrac{m(m-1)}{1.2}(m-1)^m-\dfrac{m(m-1)(m-2)}{1.2.3}(m-2)^m+$ etc.
あるいは
$\footnotesize (m+1)^m-m\,m^m+\dfrac{m(m-1)}{1.2}(m-1)^m-\dfrac{m(m-1)(m-2)}{1.2.3}(m-2)^m+\cdots$
とも表すことができる.
⸻
Vbi in forma priori poſuimus $\footnotesize x=0$, in poſteriori $\footnotesize x=1.$
前者の式では$\footnotesize x=0$を、後者の式では$\footnotesize x=1$を代入したのである.
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第13節　有限差分の具体例

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§. 13.
Euoluamus iam caſus huius ſeriei ſpeciales et a poteſtatibus minimis ad altiores aſcendamus; ac poſito primo $\footnotesize m=1$, ſeriei $\footnotesize 1,2,3,4,5,6,$ etc. terminus generalis differentiarum primarum erit $\footnotesize =1^1-1.0^1=1$; vel $\footnotesize =2^1-1.1^1=1.$
§13.
ここで、この級数について個々の特別な場合を調べ、最も低い冪からより高い冪へと進もう.
まず$\footnotesize m=1$とすると、数列
$\footnotesize 1,2,3,4,5,6,\ldots$の第一差分の一般項は
$\footnotesize 1^1-1\cdot0^1=1,$または
$\footnotesize 2^1-1\cdot1^1=1$となる.
⸻
Si $\footnotesize m=2$, ſeriei $\footnotesize 1,2^2,3^2,4^2,5^2,$ etc. differentiae ſecundae ſunt vel $\footnotesize 2^2-2.1^2$, vel $\footnotesize 3^2-2.2^2+1.1^2;$
$\footnotesize m=2$とすると
数列$\footnotesize 1,2^2,3^2,4^2,5^2,\ldots$の第二差分は
$\footnotesize 2^2-2\cdot1^2,$または$\footnotesize 3^2-2\cdot2^2+1\cdot1^2$である.
⸻
at eſt $\footnotesize 2^2-2.1^2=2(2^1-1.1^1),$ vnde hae differentiae ſecundae ſunt $\footnotesize =2.1.$
しかるに$\footnotesize 2^2-2\cdot1^2=2(2^1-1\cdot1^1)$であるから
これらの第二差分はすべて$\footnotesize 2\cdot1$に等しい.
⸻
Sit $\footnotesize m=3$, et ſeriei $\footnotesize 1,2^3,3^3,4^3,5^3,$ etc. differentiae tertiae erunt vel
$\footnotesize =3^3-3.2^3+3.1^3$, vel $\footnotesize 4^3-3.3^3+3.2^3-1.1^3;$
$\footnotesize m=3$とすると
数列
$\footnotesize 1,\;2^3,\;3^3,\;4^3,\;5^3,\ldots$
の第三差分は、
$\footnotesize 3^3-3\cdot2^3+3\cdot1^3,$
または$\footnotesize 4^3-3\cdot3^3+3\cdot2^3-1\cdot1^3$
で与えられる.
⸻
at $\footnotesize 3^3-3.2^3+3.1^3=3(3^2-2.2^2+1.1^2)=3.2.1,$
しかるに
$\footnotesize 3^3-3\cdot2^3+3\cdot1^3=3\left(3^2-2\cdot2^2+1\cdot1^2\right)=3\cdot2\cdot1,$
である.
⸻
quia ex caſu praecedente eſt
$\footnotesize 3^2-2.2^2+1.1^2=2.1.$
なぜなら前の場合から$\footnotesize 3^2-2\cdot2^2+1\cdot1^2=2\cdot1$
が成り立つからである.
⸻
etc. differentiae quartae erunt vel
$\footnotesize 4^4-4.3^4+6.2^4-4.1^4,$
vel $\footnotesize 5^4-4.4^4+6.3^4-4.2^4+1.1^4.$
以下同様に、第$\footnotesize 4$差分は
$\footnotesize 4^4-4\cdot3^4+6\cdot2^4-4\cdot1^4$
または
$\footnotesize 5^4-4\cdot4^4+6\cdot3^4-4\cdot2^4+1\cdot1^4$
となる.
⸻
At eſt
$\footnotesize 4^4-4.3^4+6.2^4-4.1^4=4\bigl(4^3-3.3^3+3.2^3-1.1^3\bigr)=4.3.2.1.$
しかるに$\footnotesize 4^4-4\cdot3^4+6\cdot2^4-4\cdot1^4$
は$\footnotesize 4\bigl(4^3-3\cdot3^3+3\cdot2^3-1\cdot1^3\bigr)$
に等しく
したがって$\footnotesize 4\cdot3\cdot2\cdot1$に等しい.
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第14節　有限差分公式の一般証明

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§. 14.
Quo hic progreſſus melius perſpiciatur, ſint ſeriei $\footnotesize 1,\;2^m,\;3^m,\;4^m,\;5^m$, etc. differentiae ordinis $\footnotesize m=P$; ſeriei $\footnotesize 1,\;2^{m+1},\;3^{m+1},\;4^{m+1},\;5^{m+1}$, etc. differentiae ordinis $\footnotesize m+1=Q.$
§14.
この進み方がより明瞭に理解できるように、
数列$\footnotesize 1,\;2^m,\;3^m,\;4^m,\;5^m,\ldots$
の第$\footnotesize m$差分を$\footnotesize P$とし
数列$\footnotesize 1,\;2^{m+1},\;3^{m+1},\;4^{m+1},\;5^{m+1},\ldots$
の第$\footnotesize m+1$差分を$\footnotesize Q$とする.
⸻
erit
$\footnotesize P=(m+1)^m-m.m^m+\dfrac{m(m-1)}{1.2}(m-1)^m-\dfrac{m(m-1)(m-2)}{1.2.3}(m-2)^m+$ etc.
すると
$\footnotesize P=(m+1)^m-m\cdot m^m+\dfrac{m(m-1)}{1.2}(m-1)^m-\dfrac{m(m-1)(m-2)}{1.2.3}(m-2)^m+\cdots$
となる.
⸻
$\footnotesize Q=(m+2)^{m+1}-(m+1)m^{m+1}+\dfrac{(m+1)m}{1.2}(m-1)^{m+1}-\dfrac{(m+1)m(m-1)}{1.2.3}(m-2)^{m+1}+$ etc.
また
$\footnotesize Q=(m+2)^{m+1}-(m+1)m^{m+1}+\dfrac{(m+1)m}{1.2}(m-1)^{m+1}-\dfrac{(m+1)m(m-1)}{1.2.3}(m-2)^{m+1}+\cdots$
である.
⸻
Vbi $\footnotesize P$ ex forma poſteriori, at $\footnotesize Q$ ex forma priori expreſſimus.
ここでは$\footnotesize P$は後者の形で$\footnotesize Q$は前者の形で表した.
⸻
Hic primò patet, in vtraque expreſſione parem eſſe terminorum numerum, et ſingulos terminos expreſſionis $\footnotesize P$ eſſe ad ſingulos terminos expreſſionis $\footnotesize Q$, vti $\footnotesize 1$ ad $\footnotesize m+1.$
まず明らかなことは、両方の式の項数は等しく、さらに$\footnotesize P$の各項は、それぞれ対応する$\footnotesize Q$の各項に対して$\footnotesize 1 : (m+1)$の比をなしていることである.
⸻
Namque eſt $\footnotesize (m+1)^m : (m+1)^{m+1}=1:m+1;$
なぜなら$\footnotesize (m+1)^m : (m+1)^{m+1}=1:(m+1)$だからである.
⸻
$\footnotesize m.m^m:(m+1)m^{m+1}=1:m+1;$
また$\footnotesize m\cdot m^m:(m+1)m^{m+1}=1:(m+1)$である.
⸻
$\footnotesize \dfrac{m(m-1)}{1.2}(m-1)^m:\dfrac{(m+1)m}{1.2}(m-1)^{m+1}=1:m+1;$
さらに$\footnotesize \dfrac{m(m-1)}{1.2}(m-1)^m:\dfrac{(m+1)m}{1.2}(m-1)^{m+1}=1:(m+1)$となる.
⸻
$\footnotesize \dfrac{m(m-1)(m-2)}{1.2.3}(m-2)^m\dfrac{(m+1)m(m-1)}{1.2.3}(m-2)^{m+1}=1:m+1$;etc.
同様に$\footnotesize \dfrac{m(m-1)(m-2)}{1.2.3}(m-2)^m:\dfrac{(m+1)m(m-1)}{1.2.3}(m-2)^{m+1}=1:(m+1)$
である.以下も同様である.
⸻
Hanc ob rem erit $\footnotesize P:Q=1:m+1$; ideoque $\footnotesize Q=(m+1)P.$
このことから$\footnotesize P:Q=1:(m+1)$
が成り立つ.
したがって$\footnotesize Q=(m+1)P$となる.
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