物理学者物語：第３話 「力と加速度を結びつける」ニュートンは語る

「力が働けば、運動が変わる」。
ここまでは見えてきました。
では、その「変化」は、力の大きさとどう関係しているのでしょう。
強く押せば、もっと速く動き方が変わる。
同じ力なら、軽い物体と重い物体では結果が違う。
どうやら、ここには数式で表せる規則がありそうです。
ニュートンは、「力」と「運動」の関係を、まだ完成していない黒板の上で一歩ずつ探していきます。

前回、私は一つの考えにたどり着いた。
力が働かなければ、運動状態は変わらない
では、力が働いたらどうなる？
ここから先は、感覚だけでは足りない。
私は、その「変化」を数字でつかみたい。

たとえば、同じ物体を押してみる。
弱く押す。
すると、少しずつ速度が変わる。
もっと強く押す。
すると、もっと急激に速度が変わる。
どうやら、
力が大きい　⇒　運動の変化が大きい
という関係がありそうだ。
だが、ここで私は立ち止まる。
「運動の変化」とは、何を測ればいい？
速度そのものではない。
速度は、その瞬間の状態だからだ。
見るべきなのは、
速度がどれだけの速さで変化しているか。
それなら、これを「加速度」と呼べる。

$$
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
$$

よし。力と加速度を比べてみよう。
同じ物体なら、強い力ほど大きな加速度を生むのではないか。

$$
F\propto a
$$

つまり、比例していると考えてみる。
だが、まだ一つ問題がある。
物体の重さが違ったら？

同じ力で、軽い球と重い球を押してみる。
おそらく軽い球のほうが、運動を大きく変えるだろう。
では、加速度は何によって決まる？
力だけではない。
物体そのものの「動きにくさ」も関係しているはずだ。
私は、その性質を質量 mm で表すことにする。すると、

$$
a\propto\frac{1}{m}
$$

と考えられそうだ。
重いほど、同じ力では加速しにくい。
軽いほど、加速しやすい。

ここまで来ると、一つの形が見えてくる。
力が大きいほど加速度は大きい。
質量が大きいほど加速度は小さい。ならば、

$$
a\propto\frac{F}{m}
$$

ではないか？
両辺に mm を掛ければ、

$$
F\propto ma
$$

となる。
だが私は、まだ安心しない。
比例定数は本当に必要なのか？
単位をうまく選べば、

$$
\boxed{F=ma}
$$

と書ける。

……美しい。
たった三つの量だ。

$$
F,\quad m,\quad a
$$

力と質量が決まれば、加速度が決まる。つまり、

$$
\boxed{a=\frac{F}{m}}
$$

だ。
これなら、前回までの疑問にも答えられる。
なぜ石が止まるのか？
摩擦という力が、運動を変えているからだ。
なぜ落下するのか？
地球が物体に力を及ぼしているからだ。
そして、その力が加速度を生み出している。

しかし、ここでもう一度疑ってみよう。
本当に「力」というものは、ただ一つの数字で表せるのだろうか？
右へ押す力と、左へ押す力が同時に働いたら？
二つの力はどうなる？
たとえば、

$$
F_1=5,\qquad F_2=-3
$$

ならば、合計は

$$
F_{\rm net}=F_1+F_2=2
$$

と考えればよさそうだ。
つまり重要なのは、個々の力ではなく、
すべての力を合わせた結果
なのではないか。

私は黒板に、最後の式を書く。

$$
\boxed{\sum \vec{F}=m\vec{a}}
$$

これなら、力がいくつあっても扱える。
そして、ここから先に、もっと大きな問題が待っている。
地面の上で落ちる物体。
空を動く月。
太陽の周りを回る惑星。
もし、これらすべてに同じ運動の法則が成り立つなら――
地上の物理と、天上の物理は、一つにつながる。
だが、そのためにはまず、
地球の引力が、月にも働いていることを確かめなければならない。
私は次の計算のために、黒板を空ける。
月までの距離。
月の運動。
そして、地球の重力。
この三つを結びつければ、何かが見えるかもしれない。

次回予告　第4話　「月を地球に落としてみる」

地上の石と、空を飛ぶ月。
私はこの二つが、まったく別の現象だとは思えなくなってきた。
もし月も、地球に引かれているのなら？
その力で計算した月の「落ち方」と、実際の月の運動は一致するだろうか。
私は、月を地球に向かって落としてみる。
もちろん、黒板の上で。

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