【ベクトル解析】三重積・四重積公式の覚え方

　※数学や物理には疎いですが、今回三重積・四重積を覚える機会があったので使った覚え方をメモ的にまとめた記事です。ネットに転がってる情報を使っているので知ってる人には当たり前じゃん！が多いとは思いますがご了承ください。また、行列式は既に知っている前提になります。

⠀（PR）

スカラー積

　２つのベクトル間での演算で、スカラーを生じるものをスカラー積（ドット積）といいます。内積ともいい、こちらの方が馴染み深い方もいらっしゃるとは思いますが、スカラー積で覚えちゃうのが後々有益です。$\bold{a} ・\bold{b}$で交換法則（可換律）が成り立ちます。

$$\bold{a} ・\bold{b}=\bold{b}・\bold{a}$$

ベクトル積

　２つのベクトル間での演算で、ベクトルを生じるものをベクトル積（クロス積）といいます。外積ともいい、こちらの方が馴染み深い方もいらっしゃるとは思いますが、ベクトル積で覚えちゃうのが後々有益です。$\bold{a} ・\bold{b}$で交換法則（可換律）はそのままでは成り立ちません。

$$\bold{a} ×\bold{b}=-\bold{b}×\bold{a}$$

　この後扱う三重積、四重積は、上記のスカラー積やベクトル積をベースとして入れ子の構造になっています。

スカラー三重積

　３つのベクトル間での演算で、スカラーを生じるものをスカラー三重積といいます。$\bold{a} ・(\bold{b}×\bold{c})$で表され、以下のように規則的な交換法則が成り立ちます。今後覚える上で大切なサイクリックという概念です。左からの順である、a→b→c→a→b→…という循環を壊さなければイコールで結ばれます。公式丸暗記よりは、構造を覚えて穴埋めできるようにするのがベネだと思います。

$$\bold{a} ・(\bold{b}×\bold{c}) \\= \{〇 ・(〇×〇)\} \\= \bold{b} ・(\bold{c}×\bold{a})= \bold{c} ・(\bold{a}×\bold{b})$$

　スカラー三重積は特別なのでまた出てきます。

演習

Q1.以下の下線部α･βには、「ベクトル」または「スカラー」のいずれかが当てはまる。それぞれ答えよ。

$$\underbrace{\overset{ベクトル}{\bold{a}} ・\underbrace{(\overset{ベクトル}{\bold{b}}×\overset{ベクトル}{\bold{c}})}_{\bold{β\_\_\_\_\_\_\_\_}}}_{\bold{α\_\_\_\_\_\_\_\_}}$$

Q2. $\bold{a} ・(\bold{b}×\bold{c})= (\bold{b}×\bold{c})・\bold{a}$は正しいか。そう考えるのはなぜか。

Q3. $(\bold{b}×\bold{c})・\bold{a}$の構造はＡとＢ、どちらであるか。
 A.　$\{〇 ・(〇×〇)\}$
 B.　$\{(〇×〇)・〇\}$

Q4.$(\bold{b}×\bold{c})・\bold{a}$におけるサイクリックは、どのような順序・順番であるか答えよ。

Q5.下記の下線部を補完せよ。

$$(\bold{b}×\bold{c})・\bold{a} \\= \{(〇×〇)・〇\} \\= (\bold{c}×\_)・\_= (\bold{a}×\_)・\_$$

　演習を受けて、$\bold{a} ・(\bold{b}×\bold{c})=(\bold{a}×\bold{b})・\bold{c}$が成り立つことから、ベクトル三重積を$[\bold{a} ,\bold{b},\bold{c}]$と表し、定義することがあります。

ベクトル三重積

　３つのベクトル間での演算で、ベクトルを生じるものをベクトル三重積といいます。$\bold{a} ×(\bold{b}×\bold{c})$や$(\bold{a} ×\bold{b})×\bold{c}$で表され、以下で示されるように結合法則は成り立ちません。一見、規則性が見えにくいですが、行列式での計算規則とサイクリックを組み合わせることで、覚えるのには困らない程度には説明できます。これも、構造を覚えて穴埋めできるようにするのがベネだと思います。

$$\bold{a} ×(\bold{b}×\bold{c}) \\=(\bold{a})×(\bold{b}×\bold{c}) \\  \\構造を以下のように示す \\\boxed{ { \begin{array}{c}{\begin{array}{c:c} =&{\begin{array}{cc}\square&(\square           \square)\end{array}}\\ \hdashline &{\left |\begin{array}{cc}〇&(〇・〇)\\〇&(〇・〇)\end{array}\right |}\\ \end{array}} \\{\begin{array}{l} ・右下枠は行列式\\ ・\square  (\square  \square)は演算子をぶち抜いた式\\ ・(〇・〇)は内積 \end{array}}\end{array} } } \\  \\↓\squareが一つの所に定めて \\縦方向にサイクリック \\\begin{array}{c:c} =&{\begin{array}{cc}(\bold{a})×(……&\end{array}}\\ \hdashline &{\left |\begin{array}{cc}\bold{b}&(〇・〇)\\\bold{c}&(〇・〇)\end{array}\right |}\\ \end{array} \\  \\行列式を計算 \\= \bold{b}(〇・〇)-\bold{c}(〇・〇) \\  \\各項それぞれでサイクリック \\\bold{a} ×(\bold{b}×\bold{c})= \bold{b}(\bold{c}・\bold{a})-\bold{c}(\bold{a}・\bold{b}) \\  \\---------------\\ \\(\bold{a} ×\bold{b})×\bold{c}で 同様に考えると\\ (\bold{a} ×\bold{b})×\bold{c}= \bold{b}(\bold{c}・\bold{a})-\bold{a}(\bold{b}・\bold{c})$$

演習

Q1.以下の下線部α･βには、「ベクトル」または「スカラー」のいずれかが当てはまる。それぞれ答えよ。

$$\underbrace{\overset{ベクトル}{\bold{a}} ×\underbrace{(\overset{ベクトル}{\bold{b}}×\overset{ベクトル}{\bold{c}})}_{\bold{β\_\_\_\_\_\_\_\_}}}_{\bold{α\_\_\_\_\_\_\_\_}}$$

Q2.ベクトル三重積として$\bold{a} ×(\bold{b}×\bold{c})= \bold{b}(\bold{c}・\bold{a})-\bold{c}(\bold{a}・\bold{b})$が成り立つが、$\bold{b}(…)$や$\bold{c}(…)$のようにベクトルと括弧間に演算子が見当たらないように思える。これはどういった演算なのだろうか。「ベクトル」と「スカラー」を用いて説明せよ。

Q3.#ベクトル三重積 の例に倣って$(\bold{a} ×\bold{b})×\bold{c}$について書け。

Q4.Q3の結果から$\bold{a} ×(\bold{b}×\bold{c})≠(\bold{a} ×\bold{b})×\bold{c}$が言え、結合法則が成り立たないことが分かる。しかしながら、２つの式を見比べると共通する項があることも分かる。それは何か。

　さて、これから四重積に入るわけですが、正直なところ上記２つの三重積をしっかり覚えていれば、いつでも簡単に導出が可能です。ですが、それじゃちょっと味気ないですし、横にズラーっと式並べるよりかは行列式みたいなこじつけで覚えられたら嬉しい人も一定数いるはず。
　四重積に入るにあたって、こじつけに（多少なりとも）整合性や関連性を持たせるために、今までの考え方をやや再解釈・再構成する形で覚えていきます。

⠀（PR）

スカラー四重積

　スカラー積$\bold{a} ・\bold{b}$を以下のように都合よく解釈しなおします。

$$\bold{a} ・\bold{b} \\=(\bold{a})・(\bold{b}) \\  \\構造を以下のように示す \\\boxed{ {\begin{array}{c} {\begin{array}{c:c} =&\square\\ \hdashline \square&|(〇・〇)|\\ \end{array}} \\ {\begin{array}{l}・右下枠は行列式\\・\squareは括弧でまとめたもの\\・(〇・〇)は内積\end{array}} \end{array}} } \\  \\\squareには括弧でまとめられたもの \\(この場合\bold{a}または\bold{b}) \\\begin{array}{c:c} =&\bold{b}\\ \hdashline \bold{a}&|(〇・〇)|\\ \end{array} \\  \\表の縦横を参照して〇に当てはめる \\\begin{array}{c:c} =&\bold{b}\\ \hdashline \bold{a}&|(\bold{b}・\bold{a})|\\ \end{array} \\  \\=\left | \begin{array}{c} (\bold{b}・\bold{a}) \end{array} \right | \\=\bold{b}・\bold{a}$$

　このように解釈したとして、スカラー四重積$(\bold{a} ×\bold{b})・(\bold{c} ×\bold{d})$は以下のように組み立てられます。

$$(\bold{a} ×\bold{b})・(\bold{c} ×\bold{d}) \\  \begin{array}{c:c} =&\square                               \square\\ \hdashline {\begin{array}{c}\square\\\square\end{array}}& {\left |\begin{array}{cc}(〇・〇)&(〇・〇)\\(〇・〇)&(〇・〇)\end{array}\right |} \end{array} \\  \\\squareには括弧内の\bold{a}と\bold{b} \\または、\bold{c}と\bold{d}を入れる\\ \begin{array}{c:c} =&\bold{a}                               \bold{b}\\ \hdashline {\begin{array}{c}\bold{c}\\\bold{d}\end{array}}& {\left |\begin{array}{cc}(〇・〇)&(〇・〇)\\(〇・〇)&(〇・〇)\end{array}\right |} \end{array} \\  \\表の縦横を読み取って埋める \\ \begin{array}{c:c} =&\bold{a}                               \bold{b}\\ \hdashline {\begin{array}{c}\bold{c}\\\bold{d}\end{array}}& {\left |\begin{array}{cc}(\bold{a}・\bold{c})&(\bold{b}・\bold{c})\\(\bold{a}・\bold{d})&(\bold{b}・\bold{d})\end{array}\right |} \end{array} \\  \\行列式を計算 \\= (\bold{a}・\bold{c})(\bold{b}・\bold{d})-(\bold{a}・\bold{d})(\bold{b}・\bold{c})$$

　ちなみに、公式からの順当な導出は

スカラー三重積
$(\bold{a}×\bold{b})・\bold{X}=\bold{a} ・(\bold{b}×\bold{X})$

の両辺に$\bold{X}=\bold{c}×\bold{d}$を代入します。
　すると、出来上がった等式は

$(\bold{a}×\bold{b})・(\bold{c} ×\bold{d})=\bold{a} ・(\bold{b}×(\bold{c}×\bold{d}))$

となり、"（スカラー四重積）＝~~~"の形になってます。
　この等式の右辺に

ベクトル三重積
$\bold{b}×(\bold{c}×\bold{d})＝\bold{c}(\bold{d}・\bold{b})-\bold{d}(\bold{b}・\bold{c})$

を適用してあげると、等式は

$(スカラー四重積)=\bold{a} ・(\bold{c}(\bold{d}・\bold{b})-\bold{d}(\bold{b}・\bold{c}))$

となり、分配・結合法則を満たすため、

$(\bold{a}・\bold{c})(\bold{b}・\bold{d})-(\bold{a}・\bold{d})(\bold{b}・\bold{c})$

となります。

ベクトル四重積

　ベクトル四重積$(\bold{a} ×\bold{b})×(\bold{c} ×\bold{d})$は、ベクトル三重積で用いた方法に少し工夫を加えるだけで出来上がります。

$$(\bold{a} ×\bold{b})×(\bold{c} ×\bold{d})において\\(\bold{a} ×\bold{b})、(\bold{c} ×\bold{d})で右か左か\\どちらか一方を塊で捉える \\  \\どちらか一方を決めたところで \\構造を以下に示す\\ \boxed{\begin{array}{c}{\begin{array}{c:c}=&{\begin{array}{c}\square                   (……)                   \end{array}}\\\hdashline&{\left |\begin{array}{cc}〇&\{〇・(〇×〇)\}\\〇&\{〇・(〇×〇)\}\end{array}\right |}\\\end{array}}\\{\begin{array}{l}・\squareは塊として見た方\\    （この場合だと左側の(\bold{a}×\bold{b})）\\・\square   (……)は演算子をぶち抜いた式\\・\{〇・(〇×〇)\}はスカラー三重積\end{array}}\end{array}}\\ \\  \\ \squareに\bold{a}と\bold{b}を配置\\\begin{array}{c:c}=&{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\bold{a}\\\bold{b}\end{array}}                   (……)                   \end{array}}\\\hdashline&{\left |\begin{array}{cc}〇&\{〇・(〇×〇)\}\\〇&\{〇・(〇×〇)\}\end{array}\right |}\\\end{array}\\ \\↓縦方向にサイクリック\\\begin{array}{c:c}=&{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\bold{a}\\\bold{b}\end{array}}                   (……)                   \end{array}}\\\hdashline&{\left |\begin{array}{cc}\bold{c}&\{〇・(〇×〇)\}\\\bold{d}&\{〇・(〇×〇)\}\end{array}\right |}\\\end{array}\\ \\行列式の計算\\=\bold{c}\{〇・(〇×〇)\}-\bold{d}\{〇・(〇×〇)\}\\ \\各項それぞれでサイクリック \\(ベクトル四重積)=\bold{c}\{\bold{d}・(\bold{a}×\bold{b})\}-\bold{d}\{\bold{a}・(\bold{b}×\bold{c})\}\\ \\---------------\\\\角括弧[]を用いる記法では \\(ベクトル四重積)=[\bold{a},\bold{b},\bold{d}]\bold{c}-[\bold{a},\bold{b},\bold{c}]\bold{d}$$

　上記のやり方において、右を取るか左を取るかで結果が異なる形になり、２パターン出てきます（左右の違いに注意）。
　一方が上記のパターンで

$\bold{c}\{\bold{d}・(\bold{a}×\bold{b})\}-\bold{d}\{\bold{a}・(\bold{b}×\bold{c})\}$

となり、もう一方が

$-\bold{a}\{\bold{b}・(\bold{c}×\bold{d})\}+\bold{b}\{\bold{c}・(\bold{d}×\bold{a})\}$

となりますが、どちらも等しく、正しいです。

　公式からの導出も同様で、$(\bold{a}×\bold{b})×(\bold{c}×\bold{d})$を

$\bold{X}×(\bold{c}×\bold{d})$

と取ってあげるか、

$(\bold{a}×\bold{b})×\bold{Y}$

と取るかの違いで導けます。

最後に

　ここまでご閲覧頂き、ありがとうございます。ここまで書いてきたものはあくまで一例ですので、ご自身のお好きなように覚えていきましょう。それが一番覚えやすいことなのは間違いないでしょう。まぁ、覚えなくても困りはしないと思いますが（元も子もない）

参考

・質問のベクトル3重積の覚えやすい覚え方 - rscのブログ
・三重積 (ベクトル解析) - Wikipedia
・四重積 (ベクトル解析) - Wikipedia