WiiマリオRTA 乱数のお話

Karumeです。
今日はWiiマリオの乱数についてのお話を。実際のプレイに関する解説というよりは、内部的なこととか理論寄りの解説となります。なるべくわかりやすく、読みやすい記事になるよう努めましたので、最後まで読んでいただけると幸いでございます。
細心の注意は払いましたが、多分というかほぼ確実に内容の誤りなどがあることかと思います。見つけた際はどうかコッソリ優しく教えてくださいm(__)m

なお私は数学とかゲームの解析に関しては完全に門外漢であり、本記事の内容の圧倒的大部分は先人の投稿などに依拠しております。文中に適宜、または末尾にリンクを掲載しますので、是非そちらもご覧ください。本記事では触れられなかった部分の解説もされていて興味深い資料ばかりです。
特に、私が乱数に注目し始めたきっかけであり本記事でも大いに参考にしたRoadrunnerWMC氏の投稿を最初に紹介させてください。

またNSMBWのスピードランコミュニティでも乱数に関する議論が時々盛り上がっており、本記事でもいくつか引用しております。引用部分は[ ]を付し、末尾に出典を記しています。興味がある方はそちらから議論の様子を見に行っていただければと思います。

資料投稿者の方々に、この場をお借りして御礼申し上げます。

乱数とは何か

乱数とは、ざっくり言うと「無作為性のある数列、ランダムな数列」のことです。会心の一撃やザオラルの成否（ドラゴンクエスト）など、コンピュータゲームにおいては不確定の事象を決める要素として欠かせない存在といえます。

とはいえ実際のゲームにおいて定義通り完全ランダムの乱数が実装されることはなく、（人間が通常認識・制御できない程度の）何らかの規則に従って値が用意される所謂「擬似乱数, pseudo RNG」が使われています。正真正銘の乱数ではないものの、少なくともプレイヤーからはランダムに見えるような値を内部で作っているということです。今後、乱数といったらこの擬似乱数を指してるものと思ってください。
こうして生成された擬似乱数を通じて、ゲーム内のあらゆるランダム要素の判定が行われていくのです。「今の乱数をkで割って、余りがいくつなら〇〇を成功させる」みたいな感じで。
乱数が動くことを、乱数の進行とか消費とか更新とか言ったりします。

例1: ジャンプ
通常ジャンプには2つのアニメーションがあり、乱数によってどちらかが選択されます [1]。

2段目は3つのアニメーション（大の字, 直立, バタ足）と2つの発声（"ho", "ya"）があります。個別に乱数を取って判定しているのか1回でまとめて判定しているのかはわかりません。バタ足パターンは他2つに比べて登場率が明らかに低いです。

3段目はアニメーションは1つですが発声が3種類あります。
なおしゃがみジャンプ、スピンジャンプ、ファイアやアイスを打ちながらのジャンプはアニメーションが1つしか存在せず、そのため乱数は関与しません。

例2: 5-C イギー戦 ボイス
たった1戦のために無駄に3種類のボイスが用意されています。多分乱数です。個人的に一番好きなところなので例に挙げました。

初代NSMB / NSMBWの乱数生成式

※ 以下、頭に"0x"がついてある数字は16進数、そうでない数字は10進数を表しています。

現在の乱数を$${X_n}$$として次なる乱数$${X_{n + 1}}$$を生成するには、

$$
\begin{array}{}T &=& 1664525 * X_n + 1013904223 \\\ X_{n + 1} &=& T + (T >> 32) \mod 2 ^ {32}\end{array}
$$

ざっくり、「現在の乱数に何かかけたり足したりして、そいつを$${2 ^ {32}}$$で割った余りを次の乱数とする」という流れになっています。
なお2本目の$${T >> 32}$$は32 bitの右シフト演算を表します。16進数なら8桁分の右シフトですね（$${2 ^ {32} = 16 ^ 8}$$）。要は、2本目の式では上位の桁を下位の桁に加算しているわけです。こういうことです↓

一旦ここで、右シフト演算$${T >> 32}$$を省いた以下の(1)式を考えてみましょう。

$$
\begin{equation}
X_{n + 1} = (1664525 * X_n + 1013904223) \mod 2 ^ {32}
\end{equation}
$$

一般に、(1)式のように$${X_{n + 1} = (A * X_n + B) \mod M}$$という漸化式によって次の乱数を生成する方法を線形合同法（LCG / LCM: Linear Congruential Generators / Method）といいます。
詳細はWikipediaをご参照いただきたいのですが、LCGの重要な性質として

・LCGにより生成される乱数列は周期性（1, 6, 4, 7, 1, 6, 4, 7, …のように規則的に同じ値が繰り返される性質）を持つ
・適当な条件下で、乱数列は最大周期$${M}$$を持つ

というものがあります。そして(1)式はこの適当な条件を満たしています。
よって、仮に0を初期値として(1)式で乱数生成を行った場合は、乱数列は$${2 ^ {32} - 1}$$までの値を1回ずつ経由して（順番は不規則的だが）再び0に戻ってくるという、一周$${2 ^ {32}}$$個のループ構造になるということです。

ところが$${T >> 32}$$の存在により事態は一転。冒頭の式により生成される乱数列は、なんと1653種類もの異なるループに分かれてしまいます。周期長もバラバラです。
※ 周期長: 1ループあたりの数字の数。1, 6, 4, 7, 1, 6, 4, 7, …の場合は周期長4。周期長kのループをk-cycleと表記します。

以下の表をご覧ください（RoadrunnerWMC氏の記事のものを引用しました）。

周期長は最大1,708,724で最小1です。先ほどのLCGによる乱数列の周期長は$${2 ^ {32}}$$ = 4,294,967,296でしたから、著しく短くなったのがわかりますね。
ほとんどの周期長のループは1種類しか存在しませんが、4-cycleは12種類、8-cycleはなんと1630種類ものユニークなループが存在しています。
3列目は、初期値の総数4,294,967,296個のうち何個がk-cycleに入り込むのかを示しています。4列目はその割合です。全初期値のうち約3/4が最長の1,708,724-cycleに到達するということですね。
周期長が1万以上のループに入れる確率は99.99%以上。周期長が1万あれば、普通にゲームをする分にはループを認識・制御できることはないと思うので、問題ないのでしょう。

さて、何故に漸化式に$${T >> 32}$$なんてものが存在しているのでしょうか？

一般に、LCGによる擬似乱数生成においては、下位ビット（2進数表記した際の下位の桁）の乱数性が充分でないという指摘があります。
試しに(1)式をRで動かしてみましょう。初期値を0とした場合の最初の32個の乱数を出力させます。

Rコード：

#LCGによる生成器
lcg <- function(x){
  return((1664525 * x + 1013904223) %% 2 ^ 32)
}

#LCGによる32個の乱数生成
seeds <- c()
seeds[1] <- 0

for(i in 1:31){
  seeds[i + 1] <- lcg(seeds[i])
}

seeds

出力：

> seeds
 [1]          0 1013904223 1196435762 3519870697 2868466484 1649599747 2670642822
 [8] 1476291629 2748932008 2180890343 2498801434 3421909937 3167820124 2636375307
[15] 3801544430   28987765 2210837584 3039689583 1338634754 1649346937 2768872580
[22] 2254235155 2326606934 1719328701 1061592568   53332215 1140036074 4224358465
[29] 2629538988 1946028059  573775550 1473591045

出力された乱数を見てみましょう。なんと、偶数と奇数が交互に登場する = 最下位ビットが0と1を繰り返すのです。LCGにおける割る数$${M}$$が偶数の場合、最下位ビットは同じ値をとり続けるか、0と1を交互にとるということが知られています。
2006年11月にXbox 360で発売された『カルドセプト サーガ』というボードゲームには「ダイスの目が奇数と偶数を繰り返す」という致命的な問題が存在しており、開発者がLCGのこの欠陥について何ら対処しないまま実装してしまったのではないかと推測されています。

mod 4を取って下から2ビット目を見てみましょう。この場合は
0 (00) → 3 (11) → 2 (10) → 1 (01) → 0 (00) → 3 (11) → 2 (10) → 1 (01) →…という「0, 1, 1, 0, …」の繰り返しが生まれます。
結論としては、「(1)式により生成された乱数列の下位$${n}$$ビットは周期$${2 ^ n}$$を持つ」ということになるのです。下位のビットに行けば行くほど短い周期で値を反復してしまうため、乱数として好ましくないというわけです。

では、本ゲームのように上位ビットを下位ビットに加算するという方法でこの問題を克服してみましょう。同様にRで乱数生成器を実装してみました。0から始めて32個の乱数を生成してみます。

Rコード：

#右シフト演算を加えた正しい生成器
nsmbw <- function(x){
  T <- 1664525 * x + 1013904223
  return((T + r32_shift(T)) %% 2 ^ 32)
}

#32個の乱数生成
new_seeds <- c()
new_seeds[1] <- 0

for(i in 1:31){
  new_seeds[i + 1] <- nsmbw(new_seeds[i])
}

new_seeds

※ "r32_shift(x)"は32ビットの右シフトを行う自作関数。コードは本記事の最後に載せておきます。

出力：

> new_seeds
 [1]          0 1013904223 1196828703  450456268 2817872298 2081980138
 [7] 2971988253 2135380753  987533808 1547555728  922171518  198343123
[13] 2554683738  513268843 3530411988 4170832318 1822908453 3571800808
[19] 1326063723 1935151693 4173529308 2789364928 1650606048 2647209103
[25] 2359181358 2996206903 2120741133 2618485138 2177267673 2608947073
[31]   28745868 3294170623

1桁目が3と8しか取っていないのはまあ置いといて、再びmod 2とmod 4を取って下位ビットの挙動を確認してみましょう。

見た感じどちらも不規則的に見えますね。このことから、「右シフト演算の存在によって下位ビットの乱数性が改善される」と結論付けられそうです。

とはいえ、これにより周期長$${2 ^ {32}}$$の唯一のループが失われて1653個ものユニークなループに分かれ、周期長は1 ~ 1708724と大幅に短縮されてしまいました。特に周期長1のループの存在は致命的です（次の次の項で解説します）。RoadrunnerWMC氏も
"this change ends up bringing more issues than benefits."
と記事で述べています。

ただ、この仕様のおかげでNewマリRTA / TAS界隈には非常に大きな利益がもたらされることになりました。。。詳しくはこのあとすぐ。

なお漸化式での乱数生成において重要になってくるのが一番最初の値、初期値です。「初期seed」「乱数の種」と呼ぶこともあります。
初代NSMBの場合はコンソールのMACアドレスやらゲーム起動日時やらの内部情報をいろいろ組み合わせたり、暗号学的ハッシュ関数に通したりして初期値を作り出しているようです。この先は完全に私の専門外の内容ですので、詳しく知りたい方はニアト氏の記事をご覧ください。本記事を執筆する上でも大いに参考にさせていただきました。
この生成方法を見るに、初期値こそが本来の意味としての「乱数」に一番近いような気がします。

8-cycle

先述の通り、この乱数生成式において周期長8を持つループ（= 8-cycle）は1630種類存在します。本来約43億個の値を取りうるハズの乱数がたった8つの値の中でしか動かず、かつあらゆる値が好ましいものであるならば、ランダムな事象を狙って起こす / 起こさないことが人力で可能になるのがわかるでしょうか。

初代NSMBの新型乱数調整は、ゲームの起動時間をうまく設定することで1630種類の中でも特にRTAにおいて適している8-cycleに入り込めるような初期値を意図的に作り出し、RTAに活用するという原理になっています。
必須アイテムである青甲羅を1-2で確実に取得可能にする・w8のマップ上のオブジェクトの嫌な移動をさせなくする　など、その効果は絶大です。
加えてハードリセットをしない限りは常に8-cycle状態が維持されるので、最初に1回調整してしまえば、以降は再走ごとにわざわざ調整し直すなんて必要もありません。

この方法を確立し、特定の8-cycleに入れるような初期値を得るための外部ツールを開発したのがSuuper氏です。その名前に因んで本乱数調整はSuuper Manipulationと呼ばれており、近年の初代NSMBのスピードランを支える重要な柱となっています。
より詳細を知りたい方はAndre氏のドキュメントをご覧ください。

ところが、同様の調整をwiiで実現する方法は現状開発されていません。
NSMBWの初期値生成においてはwiiの内部で管理されている時間パラメータが参照されるのですが、どうやらこいつは非常に細かい間隔で更新されているようです（一説には秒間数千万回とか数億回とか）[2]。これを人力で制御し初期値を絞らせるのが現状不可能であることから、wiiではまだ実装に至っていないようです。

もう一つ、8-cycleがもたらす影響としてグラフィックの変化があります。
5-4の上空にある雲について、以下の画像を比較してみましょう。
※ 右画像は2023年公開の最新Any% TAS (by MGR, Squashh_1 & Qr1pt1k)の動画からお借りしました。元動画はこちら。

雲や2-4の砂嵐などは、乱数に従って配置されたパーティクル（細かい粒みたいなもの）の集合体です。「乱数を計算し、その乱数に対応する位置にパーティクルを配置する」という処理を各パーティクルに対して実行しています [3]。
周期長が十分に大きい = 乱数が様々な値をとるのであればパーティクルは左画像のように広範囲に配置されますが、8-cycle下では配置場所が著しく限定されて大量に重なってしまうため、右画像のようにごく一部に稠密な領域が生まれるわけです。

雲や砂嵐のほか、水中土管から噴き出す泡、W3の雪、W8の火の粉のグラフィックなども乱数によって配置が決められており、8-cycleなどの状況下では非常に偏った配置となります [4]。

8-cycleの画像はTAS動画からお借りしましたが、ここで少々補足を。
8-cycleはTASとの相性が良いため、近年のNSMBWのTASingでは8-cycleの導入が主流になっています。
TAS制作では（新ルートの発見などで）一度作った部分を変更するといった事があり得ます。当然、前の行動をいじくると乱数も変わってしまうので以降の乱数の再調整が必要になるのですが、8-cycle下ではこれを容易に修正することができるのです。数回ジャンプするだけ、など [5]。

私も本記事の執筆に際して8-cycleを自分のコンソールで実現させたいと思いリセゲー（起動ゲー？）を試みましたが、虚無すぎて早々に諦めてしまいました。
8-cycleに入れる初期値を引ける確率は146034 / 4294967296 (≒0.0034%) ではありますが、リセマラのように短セッションを繰り返すとなると「有効な初期値を引けたけど8-cycleに到達する前にゲームを終了してしまう」という場合も一応考えられるので、実質的な遭遇確率はもう少し下がりそうな気がしますね。。。
とはいえコミュニティメンバーが集結して大規模な試行を行えば、現実的な時間で遭遇者が現れるレベルではあると思います。運良く実機で8-cycle（4, 2, 1でも）に出会えた方のご報告をお待ちしております。

fixed point / 不動点

本乱数生成式における特別な値、1144735523（0x443B4723）のことです。この値を生成式にぶちこむと、驚くべきことに全く同じ値が返ってきます。

$$
\begin{array}{}T &=& 1664525 * \mathbf{1144735523} + 1013904223 \\\ &=& 1905441910325798 \\\ \\\ X_{n + 1} &=& 1905441910325798 + (1905441910325798 >> 32) \mod 2 ^ {32} \\\ &=& 1905441910325798 + 443645 \mod 2 ^ {32} \\\ &=& \mathbf{1144735523}
\end{array}
$$

これは先述した表の最下段1-cycleのことであり、何度計算しても乱数が常に同じ値をとり続けて変化しないことから、fixed point / 不動点と呼ばれています。

1-cycleにハマっている状態で「異なる結果を出力するまで乱数を取り直し続ける」ようなイベントを発生させてしまうと、その時点でゲームが進行不能になってしまいます。
NSMBWでは、タイトル画面含めあらゆる地面の模様は乱数によって選択されたタイルが並べられていますが……

タイル選択の際、「隣と同じタイルが選択された場合は、違うタイルが選択されるまで乱数を取り直す」という、隣り合うタイルを異なるものにするような処理が内部で働いているのです [6]。

仮に1-cycleにハマっていたとすると、
①ある地点Aについて、0x443B4723に対応するタイルを選択
②Aと隣り合う地点Bについて、乱数を1つ進めてその値に対応するタイルを選択
→ 再び0x443B4723に対応するタイルが選択される
③隣り合う地点AとBが同じタイルになってしまうので乱数を1つ進めた上で地点Bのタイルを選択し直す
→ 再び0x443B4723に対応する（略
といった具合に③の処理を永遠に完了できず、ゲームが進行不能になるというわけです。

8-C クッパ手前の5連炎も「異なる結果を要求するプロセス」が発生している有名な例であり、1-cycle状態ではゲームが止まります [7]。

なおクッパ手前の炎は初代NSMBを除いて他Newマリシリーズでも登場しますが、乱数によって都度配置が決められるのはWiiのみです。他3作品は固定配置となります。

初代NSMBのミニゲーム「あやうし！ボムへい」においても同様の現象が確認できます。実際の様子についてはマジあり氏の動画をご視聴ください。本記事の執筆においても大いに参考にさせていただいた動画です。

Goomba Manipulation

W1マップ右にいるクリボー、通称Fredは、初期状態のファイルをロードすると乱数によって初期位置が決定されます。Any%含めだいたいのカテゴリーでは最初は左上にいるのが理想なのですが、それ以外の位置に来てしまうと無視できないタイムロスが発生 / 最悪リセット不可避になるということで、長きに亘って数多の走者を苦しめていました。
※ 詳細はこちらのnoteの「1) ゲームルールの説明」をご参考に

ところが2023年11月、TASerのMGR氏によって、簡単かつ確実にFredの初期位置を左上にさせる方法が発見されました。

この乱数調整の肝はおてほんプレイです。
おてほんプレイは、事前に記録しておいた入力のデータをゲーム上で実行・再現するという方式になっています（≠ 録画したプレイ映像の再生）。このとき再現に乱れが生じないように、おてほんプレイ開始時に乱数が強制的にある値をとらされます。
乱数がある値に設定されたのちリセットすることで、（タイトル画面・初期ファイルロード時に乱数を一定数消費した後）Fredの初期位置決定において毎回特定の乱数を参照させられるようになり、初期位置の固定化が可能になるのです。
詳しくは発見者のMGR氏が投稿した動画をご覧ください。

ざっと書きましたが本乱数調整の発見がコミュニティに与えた利益は計り知れません。それまでは最大0.6秒という重いタイムロスを妥協していたり、中距離カテゴリーでは25%の初期位置ガチャを強いられて出走に時間がかかったりが日常茶飯事でした。初期位置の確認を巡ってルール改正の議論も数回起こっています。これらの問題が、たった1日で、完全に解決されてしまったのです。
ちなみに発見から1カ月後の2023年12月には、Any% No World 5という初期位置左上がほぼ確実に要求されるようなカテゴリーのイベントがコミュニティで開催されることになりました。

さて、長年の悩みの種であったFredが攻略されたのち、次に問題となったのはW5マップ右端にいる2体のテクテクパックンでした。こいつらも移動方向によってモーションの長さが異なっており、RTA中に1度だけ影響を及ぼします（詳しくはこちらの解説動画の2:02からをご覧ください）。

「最初の乱数を固定できたなら、うまいこと状況再現すればこいつらの初期位置も固定できるんじゃないか？」という話です。

ところがこれは不可能だということで既に決着しています。なぜなら1-1上空には雲があるからです。
8-cycleの項のグラフィック変化で説明した通り、雲はパーティクル配置のために乱数をものすごく変化させる存在です。寸分狂わぬよう状況再現するのは人力だとほぼ不可能なので、1-1を越えた先へ特定の乱数を持っていくことは無理という結論になりました。
雲によって視界も乱数もホワイトアウトしてしまうってワケですね。

一方で最近では、1-3におけるハンマーブロスの行動パターンやジャンプのアニメーションから現在の乱数を割り出して再調整できないかという研究もされているようです [8]。非常に興味深い分野だと思います、今後の進展に期待ですね。

乱数が与える影響

NSMBWのRTAにおいて、タイムに影響を与えるような運要素を紹介していきます。

Any%
先述したPedroとJulioの初期位置に加え、8-1と8-2開幕の火山弾の降る位置、8-Cのクッパ手前の5連炎で乱数が影響します。

8-1の火山弾は適切な動き（一部シビアだが）をすれば基本的にどの配置でもタイムには影響しません。ただし100%では、1枚目のスターコインを取得する際に配置次第で数秒のロスが発生することがあります。

8-2開幕は以下の位置に降られると良くないです。被弾を避けるために高度を下げる必要がある&crouch boostをやってはいけなくなるため、数Fのロスになります。

5連炎は2波目がお祈りです。シビアな動きが要求される配置・ブレーキ不可避な配置があり、後者は0.6秒程度のロスが発生してしまいます。

中長距離カテゴリー
Any% No World 5, Cannonless, 100%, All Regular Exitsといった、たくさんのワールドを巡るようなカテゴリーの場合はどうでしょう。

Fred
中長距離カテゴリーではこの地帯を通過する必要がありますが、すんなり通してくれるかどうかがお祈りです。Fredが目的地を塞ぐような移動をしてしまうとそれだけタイムロスになります。

↓ダメなやつ（1-6に行きたい）。とはいえ鉄壁Fredシリーズの中ではマシな方だと思う。これよりもっと酷い乱数に遭遇した例もいろいろ見たことある。

W3 アイスブロス

理論上は回避可能ですが、まず現実的な確率ではないため（3-GHに行くなら1/16, 3-Tに行くなら1/32）、予めキノピオの家でスターを入手して使用するのが定石です。
仮に初代NSMBのような乱数調整が実装されて回避可能になればキノピオの家に寄る必要がなくなるため、15秒程度の短縮になるでしょう。

スターを使用する場合でも、アイスブロス2体を倒せるか否かでタイムがブレます。
掃討が早ければ早いほど以降のマップ移動においてアイスブロスの移動による待ち時間が無くなるので短縮になりますし、1体でも残すと毎回アイスブロスの移動が挟まってロスになってしまいます。とはいえ遠回りしてわざわざ倒しに行くほどではありません。できたらラッキー程度です。

W4 フグマンネン

Cannonlessにおいては1/6で回避可能と言われています（厳密な値かどうかはわかりませんが、少なくとも私の体感と同じくらいです）。
Cannonlessではここにスターを持ってくることができないので完全運任せです。1/6でなんと25秒の変化。走者泣かせが過ぎますね。。。乱数調整が実装されて回避可能になれば、真っ先に喜ばれる部分になるでしょう。
運よくフグマンネンを回避することをFishlessと言います。

100%ではこの地帯を2回通過することになりますが、フグマンネンの初期位置・動き次第でこちらの行動も複数のパターンに分かれるので、短縮量や確率の計算は少々複雑になってしまいます。割愛。

4-T 鉄ブロック

3部屋目入場時の最初の5個は「2x1 →  2x1 → 2x1 → 2x1 → 2x2」で固定ですが、以降は4種類のブロックがランダムで生成されるようになっています。3部屋目を突破するには最後の通路で高さ1のブロックが出てくる必要があります。50%の運ゲーですね。1回ハズすと約4秒ロス。沼ると本っ当にメンタルが抉られます。
ちなみに、6個目から「高さ1 → 幅1 → 高さ1」で出てくるのが最速で突破できるパターンです。12.5%。通しで引けたらテンションが上がります。

先述のフグマンネンと合わせてW4前半は本ゲーム屈指のお祈りポイントです。なんなら直前には3-Cという純粋に高難易度でタイムがブレやすいコースが存在しており、難易度と乱数の両方で走者を苦しめてくる区間となっています。
4-Tの名誉のために言っておくと、RTAにおいては8つの塔のうち唯一プロペラではなくペンギンで攻略する塔であり（No W5のペンギンルートは無視してください）、ジャンプや壁キック、腹滑りといった基本動作の精度が顕著に表れるような技術系コースとなっています。ボス前最後の部屋にはQr1pt1k Stratという最高にカッコイイ大技も控えています。
完璧に動き切った時の爽快感や達成感は全コースの中でもトップクラスだと勝手に思ってるので、興味がある方は是非遊んでみてください（そんでcannonlessを走ってください）。

W5 テクテクパックン

Cannonless: 左の1体は不可避。右の2体はW3 アイスブロス同様に「一応回避可能だけど基本無理だからキノピオの家でスターを入手しておいて使う」という動きになります。これも、調整可能になればW3 アイスブロスと同様の恩恵を得られます。

100%: 左の1体が不可避なので、毎回スターを使用して突っ切ります。運要素は実質ナシです。多分今後も変わることのないパターンだと思います。

All Regular Exits: 左の1体はスターで突っ切ります。5-5から5-Cに向かう際、右下の1体とぶつかるか否かが運です。回避率はおそらく1/3で、タイムのブレは25秒。勝率やや高めのFishlessといったところ。

W7 ジュゲム

Fred同様に4地点を時計回りに移動しています。
100%およびAll Regular Exitsにおいては初回7-Tクリア後のカットシーン中にジュゲムの現在位置を確認し、それによって以降のW7の攻略ルートを決めることになりますが、ルート次第で10秒前後のズレが発生します。

100%のW7 ルート解説についてはこちらのドキュメント（by eleguin）
AREのW7 ルート解説についてはこちらの動画（by Karume & Saria）の1:13からをご覧ください。

8-T カメック

古今東西のマリオ走者の天敵、カメックです。
どこかの足場に出現して「即ワープ or 魔法を放つ」のどちらかの行動をとります。魔法を放つ場合のみ踏んでダメージを与えることが可能です。3回踏めば撃破。

魔法を放つタイミングは1 ~ 3回目の出現時でランダム。魔法を放つのが1回遅れると約3秒のロス。おまけに遠かったり行きにくい位置に来られると踏むのが遅れて更なるロス、焦って操作をミスると逃がしちゃって特大ロス。祈りましょう。
唯一の幸いは、100%とAll Regular Exitsという長距離カテでしか戦わなくていいことでしょうか。仮に短距離カテにいたらこの世の地獄になっていました (Any% No 8-7) (8-T IL) 。

魔法を放つタイミングが1 ~ 3回目でランダムということで、100%を走っている配信者がカメック戦に突入すると、チャット欄では「1 - 3 - 2」のようにそれぞれ何回目の出現で踏めるかを各々予想して書き込むのが流行ったりします。

キノピオの家　アイテムパネルめくり

現在の100%のWRは5-2クリア後にキノピオの家に行って「マメ・プロペラ・ペンギン・スターをストックする」というルートを採用していますが、これが1/3の運ゲーになっています。
アイテムパネルめくりでは各ワールドごとに6つのパターンが用意されており、入場するたびにランダムにどれか1つが選択されます。W5では上記のアイテムを回収可能なパターンが2つあるので1/3の運ゲーになるわけです。

また、Cannonlessを始めたての走者は保険のためにW2のキノピオの家に行ってプロペラをストックすることが推奨されていますが、ここでスターを入手できるパターンを引けるといくらかの短縮になってくれます（同じく1/3）。
短縮というよりは、寄り道することによるタイムロスが軽減されると表現した方が正しいですが。

他にもいろいろありますが、あまりRTAへの影響がなさそうなので本記事では割愛いたします。

まとめ

以上がNewスーパーマリオブラザーズ / NewスーパーマリオブラザーズWiiにおける乱数の仕組み、およびその応用やRTAへの影響の概略となります。

前項を見ればわかりますが、運要素の中でもRTAへの影響が特に大きいものは基本的にCannonless以上の長距離カテゴリーに集中しています。一番ポピュラーなAny%は変わって1秒 & 多少難易度が上下する程度です（慣れるとあんまり気になりません）。その点で、本ゲームのAny% RTAは比較的とっつきやすいカテゴリーだと勝手に思っています。

長距離カテでは数十秒単位で変わる可能性もありますが、正直、世界top 4とかになるまではプレイングによるブレの方が遥かに大きいんじゃないかなって思います あとロード差。私が長距離カテを走っていて運の下振れが原因でpbを逃したことなんて、5年間RTAやってて多分1回とかですね。プレイングが悪くて逃した回数の方がずっとずっと多いです。
なのでこれから長距離カテを始める方もそうでない方も、どうか悲観せぬよう。下振れても「ほーん、そう来たか」程度で流せるような心の余裕が大事だと勝手に思っています。
尤も、世界記録を狙う走者にとってはAny%の1秒も長距離カテの数十秒も非常に重大ですが。

冒頭でも述べた通り、本noteは多くの偉大な先人の研究成果があってこそ書き上げることができたものです。資料を作成してくださった方々、有識者の方々に改めて御礼申し上げます。本当にありがとうございました。
参考にしたサイトや資料等はこの後にまとめて掲載させていただきます。

最後に、本noteの執筆に至った経緯を少々。

今年に入ってからの私は、様々な要因から以前ほどRTAに集中することができなくなっていました。それでも「何かコミュニティに貢献したいなぁ、note書く？解説動画作る？」みたいなことをボンヤリ考えていたわけです。
そんな折、2026年8月15日に「配管工の夏休み」というマリオシリーズのオフラインイベントが開催され、そこで日本最高峰の走者たちによるNSMBシリーズリレーがお披露目されたのです。私はいてもたってもいられずに現地観覧いたしました。
最高級のプレイを生で見られたこと、たくさんのRTA走者と直接会ってお話できたことがきっかけで私の魂が再燃。初代NSMBの解説のかせきさんが乱数の話題に少し触れていらっしゃいましたし、以前からずっと「次書くnoteは乱数をメインテーマにするぞ」って決めていたのもあって、このたびnoteの執筆に踏み切った、というわけでした。
遅ればせながら、イベントに携わってくださった運営の皆様・リレーの走者や解説の皆様・一緒に観覧したりご飯食べたりしてくれた皆様、本当にありがとうございました。

執筆中は書きたい内容や記事の構成がうまく纏まらなかったり、必要な情報が見つからなかったりで完成できないんじゃないかと不安になりましたが、ようやく公開できて安堵 & 安堵です。
ここまで読んでくださった方々に感謝の意を表するとともに、今後のNSMBWスピードランの更なる発展を期待して、本記事の締めとさせていただきます。

作成者：Karume
2026-08-31

参考・引用, 補足など

Webサイト（すべて2026年8月31日に最終閲覧）:

One Number Repeated Forever: RNG in NSMB -
https://roadrunnerwmc.github.io/blog/2020/05/08/nsmb-rng.html

（旧版）乱数調整のセットアップ方法 -
https://docs.google.com/document/d/1-HE6Usi8N1JSUps_-lhSObMlRWOcX-5pQmOnD2wzrOc/edit?tab=t.0

NSMB_RNGを用いた新型乱数調整(Suuper manip) -
https://docs.google.com/document/d/1-KzdFI3CapkBX2GVNRXRtTUjwuqeSBCBNQPmH-yl03c/edit?tab=t.0

New スーパーマリオブラザーズ (NDS) の乱数調整に係る雑記 -
https://hackmd.io/@niart/r1r0rBcEa

Wikipedia 線形合同法 -
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E5%90%88%E5%90%8C%E6%B3%95

擬似乱数の話(線形合同法)  -
https://qiita.com/week/items/a1b2cdb1f4714a5a6143

Wikipedia カルドセプト サーガ #バグ問題 -
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%89%E3%82%BB%E3%83%97%E3%83%88_%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%82%AC#%E3%83%90%E3%82%B0%E5%95%8F%E9%A1%8C

[TAS] New Super Mario Bros. Wii "Any%" by MGR, Squashh_1 & Qr1pt1k in 24:20.9 | RTA 21:09.3 -
https://www.youtube.com/watch?v=Ud7uhXH22rw

Submission #8377: MGR, Squashh_1 & Qr1pt1k's Wii New Super Mario Bros. Wii "warps" in 24:20.90 (上記TASのSubmission Comments) -
https://tasvideos.org/8377S

【TAS(解説付)】New スーパーマリオブラザーズ "Fastest Softlock" 14.52秒 -
https://www.youtube.com/watch?v=ZZ6JaET6IbA

Goomba Manip Explained - New Super Mario Bros Wii Speedrunning -
https://www.youtube.com/watch?v=Er8JgYY0P3U

NSMBW 100%: Lakitu Skip Patterns/Routes -
https://docs.google.com/document/d/1uCsxPuMsgUkdX0-OiHb8w0jcOql53hbXHc_GszNCWZw/edit?tab=t.0

NSMBW speedrun All Regular Exits new route explanation
https://www.youtube.com/watch?v=y6f21xUbve0

speedrun.com _ New Super Mario Bros. Wii -
https://www.speedrun.com/nsmbw

書籍: 

・Donald E. Knuth, 『The Art of Computer Programming Volume 2 Seminumerical Algorithms Third Edition 日本語版』, 有澤誠 (監訳), 和田英一 (監訳), 斎藤博昭 (翻訳), 長尾高弘 (翻訳), 松井祥悟 (翻訳), 松井孝雄 (翻訳), 山内斉 (翻訳), 2004年, アスキー社, pp. 1-37
・小柴健史, 『乱数生成と計算量理論』, 2014年, 岩波書店, pp. 2-9, 18-19
・結城浩, 『暗号技術入門　第3版』, 2015年, SBクリエイティブ, pp. 312-322

NSMBW Speedrunning (日付と時刻はJST基準): 

[1] general 2026-01-03 10:15
[2] general 2024-02-19 9:00 ~ 12:48
[3] general 2024-02-19 7:49
[4] general 2024-02-19 7:59
[5] tas-discussion 2025-05-25 9:14 ~ 9:15
[6] tas-discussion 2022-07-14 17:08, 2025-10-03 1:58 ~ 2:01
[7] tas-discussion 2022-07-14 4:10 ~ 4:11
[8] general 2026-01-03 8:11 ~ 10:22

R上で32bitの右シフト演算を実行する関数：

r32_shift <- function(x){
  
  #10進数から16進数への変換
  digit_list <- c() #各桁の値を格納
  surplus_list <- c() #（計算用）剰余を格納
  surplus_list[1] <- x
  for(i in 1:15){
    digit_list[i] <- surplus_list[i] %/% 16 ^ (15 - i)
    surplus_list[i + 1] <- surplus_list[i] %% 16 ^ (15 - i)
  }
  
  #32bitの右シフト演算 16進数を8桁だけ右シフトする
  right_shift <- append(digit_list, c(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), after = 0)
  shifted_digit_list <- right_shift[1:15]

  #シフト後 16進数から10進数への変換
  values <- c()
  for(i in 1:15){
    values[i] <- shifted_digit_list[i] * (16 ^ (15 - i))
  }
  return(sum(values))

}