数学ミッケ　#1

　つい最近の話です。友達と「音速飯店」というボードゲームで遊んでいました。これは、「ハン」「タン」「メン」などが書かれたカードを出し、中華料理の名前を作ると言う、ゲームです。例えば、「ラーメン」「タンタンメン」などの言葉を作ることができます。より早く手持ちのカードを使い切った人が勝者となります。
　カードの枚数は全部で60枚でした。勘の良い方ならばもうお気づきかも知れませんが、ここに数学を見つけたのです。

なぜ60か

　60という数字の特徴として、約数が多いことが挙げられます。約数とは簡単に言うとその数で割ると割り切れる数みたいなものです。例えば、6の約数は1、2、3、6です（1+2+3=6となるため、6は完全数と言われています）。60の約数は1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60です。つまりどう言うことかというと、どんな考えらえる人数(1〜6人)のどれで遊んだとしても、全員にカードが等しく与えられるのです。
　なぜ全員に等しくカードが与えられなければならないのか。気になった方もいると思います。これはこのゲームの特徴が関係しています。
　このゲームには「とりけし」というカードがあり、「タン」から「タン」などといった流れを制限させることができます。これにより、相手の手札の減少を抑えることができ、自分の流れを作れます。しかし、残ったカードで料理名が作れなくなる可能性も高く成ります。
　このような理由より、出来るだけ料理名を完成できるように仕組む必要があるとわかるでしょう。そこで、等しくカードを渡しつつ、使い切ることで、枚数を増やすことができ、「あがり」となる人がでる可能性を上げることができるのです。
　では、次は数学的に考えてみましょう。1〜6が約数となる数を考えるだけならば、1〜6までをかければ良いことになります。しかし、1×2×3×4×5×6=720となり、これでは枚数が多過ぎるあまり、ゲームが成り立ちません。そこで、最小の数（1〜6の最小公倍数）を求めてみましょう。
　まず、先ほどの式に余分な部分がないかを考えます。例えば、6=2×3であり、先ほどの式には2,3のどちらもかけられていました。そのため、今は6が二重にかけられている状態になります。よって6は除きます。現在、1×2×3×4×5より120です。次に注目すべきは4です。4=2×2となり、すでに2が一つあり（合計で三つ）、一つが余分になっているため、一つ2を消します。すると、1×2×2×3×5=60となり、1〜6の約数を持つ、最小の数となります。これは、カードの枚数と一致します。
　ここで注目すべきは素数の存在です。素数とは、1とその数以外に約数を持たない数のことを指し、2,3,5,7…と続いていきます。このように、1〜n（nは1より大きな自然数）までの自然数を全て含んだ最小値を求める際、素数は必ずかけられなければいけません。先ほどの式で考えると、素数である2,3,5がかけられています。素数とは何かを考えれば当たり前のことと言われれば、当たり前ではありますが...まあ私は意識しないと時間がかかりすぎます。

1〜10人だとどうなる？

　次はこれを応用させ、1〜10までを想定して先ほどの条件を満たすカードの枚数を求めましょう。
　まず、先ほどのように1×2×3×4×5×6×7×8×9×10から不必要な部分を削りましょう。10=2×5,6=2×3より、この二つの数は削ることができます。また、今は2が6回かけられていますが（2,4,8でそれぞれ1,2,3回ずつ）、3回で十分であるため、2を3個分削ります。また、3が3回かけられていますが（3,9でそれぞれ1,2回）、2回で十分であるため、1個分削ります。すると、1×2×2×2×3×3×5×7となります。1〜10までにある素数が全て含まれていますね。計算すると、これは2520となり、1〜10までを考慮した場合、2520枚のカードが必要だと分かります。あまり現実的ではありませんね。まあ、そんなカードゲーム滅多にありませんから。数学というのは時々そうです。
　ぜひ他の数字でも計算してみてください。現実であり得そうな数が60までであることがわかると思います。

終わりに

　この記事にて、60枚というのは「実に合理的！」と思っていただけたのではないでしょうか。どうも社会というのは合理的らしいです。また、「数学って楽しい」と思っていただけたら嬉しいです。今後も数学に関する投稿をするつもりですので、ぜひ、楽しみにしていただけると幸いです。
　また、今回の開設にあたり、分かりやすくするために数学的表現を無視している箇所がごさいます。最後に訂正しようとも思いましたが、私にはとても荷が重いです。有識者の方がいらっしゃればよろしくお願いします。