√2が無理数であることをカッコよく💖証明できますか？

中3数学で習う、なかなかイメージの掴みにくい数。

平方根。

「面積が2である正方形の1辺の長さは」なんて例で始まりますね。

「一夜一夜に人見頃」「人並みに奢れや」と唱えた経験があなたにもあるでしょう。

ここでは、「一夜一夜に人見頃」と唱えて覚えた√2について扱っていきましょう。

ですがその前に、数の世界を把握しておくことが必要です。
（不要な方は読み飛ばして構いません🍀）

数の世界（わかる人は飛ばしてね）

数は、無数にあります。数を分類してみましょう。
(言語については、*を参照)

何がどうなっているか不明という方へ。

✅数を「複素数*¹」とします
✅複素数を「実数*²」と「虚数*³」に分けます
✅実数を「有理数*⁴」と「無理数*⁵」に分けます
✅有理数を「整数」と「小数(分数)」に分けます
✅整数を「自然数*⁶」と「0」と「負の整数」に分けます
✅小数(分数)を「有限小数*⁷」と「循環小数*⁸」に分けます

〈*部の解説〉
複素数*¹:実数+虚数
実数*²:実在する数
虚数*³:架空の数。√-2など
有理数*⁴:分数で表せる数
無理数*⁵:分数で表せない数。πなど
自然数*⁶:1以上の整数。正の整数
有限小数*⁷:小数部分に限りがある
循環小数*⁸:0.333…のように小数部分が循環している

〈あわせて読みたい🌸〉

数の世界をざっと掴めたところで、√2に焦点を戻しましょう💖

√2の小数部分はどこまで続く？

「一夜一夜に人見頃」は√2(≒1.41421356)の値を覚える際の語呂合わせとして利用されていますね。と、ここで質問です。

第1️⃣問。

√2=1.41421356 である。◯か×か。

正解は…❌です。実は問題の上に答えが書いてありましたね😛

√2( ≒ 1.41421356)

と。≒はイコールではなく、ニアリーイコールです。

-------------

では、第2️⃣問。

√2の値を小数で答えてください。

答えは…解答不能です。いじわるな問題でしたか？

√2を小数で表そうとすると、永遠と続いてしまいます。

そしてさらに、循環もしません。

つまり…
√2は無理数なのです！

√2が無理数であることの証明

前提:有理数でない数は無理数

√2が有理数であると考えると、2つの整数m,nを用いてm/nと表すことができる。

m/nは、これ以上約分できないものとする。

√2=m/n
√2n=m

両辺を2乗　2n²=m²
したがって、m²は偶数である。
このとき、mも偶数である。*⁹

kを整数としてm=2kと表すことができる。

m²=(2k)²=4k²

つまり

2n²=4k²
n²=2k²

よってn²は偶数、nも偶数となる。*⁹

m,nが共に偶数であることは、
m/nがこれ以上約分できない分数であることに反する。

以上の証明の過程には、どこにも誤りがない。

このような不合理が起こる理由は、「√2が有理数である」としたことにある。

よって、√2は有理数ではなく、無理数である。

*⁹ 奇数の2乗は奇数、偶数の2乗は偶数である。

背理法

この証明は、「背理法」と呼ばれる証明方法を用いています。

背理法とは、

命題Aが真であることを証明するために
命題Aが偽であると仮定します。
それによって起こる矛盾を探し、
命題Aが真であることを示す。

という証明方法です。

命題、真、偽などは数学Ⅰを習得できていれば分かる内容です💖

（🌸おまけ）この証明を見た桜風ひよこは…

「かっけぇ〜！」と思いました✨

当時中2だった桜風ひよこは
この証明が好きすぎて平方根の単元を乗り切ったくらいです💕

まだ背理法による証明は授業で扱っていませんが、
この証明から親しんでいけたらいいな💞と思います。

まとめ

☘️√2は無理数
🍀√2が有理数と仮定することで矛盾が起き、√2は無理数と証明できる
☘️このような証明方法を背理法という
☘️背理法はめっちゃかっけぇ（桜風ひよこの感性です）

桜風ひよこ初の勉強系note、いかがでしたか？🌸

#アドベントカレンダー 参加記事です。
私の好きな数学の証明の話が思う存分できて楽しかったです✨

〈追記〉

コペルくんwithアヤ先生💕が！
この記事に反応し、素晴らしい勉強noteを書いてくださいました💝

ここでは触れられていない、
循環小数を分数に直す方法や円周率とゆとり教育などについても触れられています！

ぜひ読んでみてください💞
（ご紹介が遅くなってしまいごめんなさい💦）

〈参考文献🌱〉

🌸桜風ひよことは？▶︎プロフィール
🍃過去の記事▶︎サイトマップマガジン
🐣今月の推し▶︎癖の直し方

2020/12/13

ひよこ🐣#109