【2022は楔数】素数を素早く見抜くコツと倍数のセンス

A Happy New Year!
I look forward to continuing goodwill this year.
Let's have a good year!

明けましておめでとうございます🎍
本年もよろしくお願いします🙇‍♀️

※英語表現は英語部・Study部にょろさんに教わりました…。

☆2022を素因数分解してみよう

早速ですが問題です。
🐯2022を素因数分解すると？

まず、２で割れることにはすぐ気づきますね。
そうすると

2022　＝　２　×　1011

さて、1011は素数？
それともまだ何かで割れる？

これは実は、３秒くらいで即答できないとダメです。
ぜひ、続きをご覧ください。受験生必読！
(もちろん大人の方も！）

☆倍数のセンスは重要！

ある数が何の倍数かを見分ける（＝約数をみつける）技術は、算数・数学において非常に重要です。

以下、身につけておきたい倍数のセンスをまとめておきます。

🌸２の倍数（偶数）
これは簡単です。１の位だけ見ればいいです。１の位が偶数であれば、その数自体も偶数です。2022は１の位が偶数ですから、2022も偶数です。

🌸3の倍数(超重要！)
各位の数の和が３で割れれば、その数も３で割れる！
これは重要知識ですよ。
1011の各位の和を求めてみましょう。
１+0+１+1＝３
ですから、1011は３で割れるのです！

⚠️この裏技が使えるのは、実用的な範囲では３の倍数と９の倍数だけです。どの数でも成り立つわけではありませんので気をつけてください。
数学が得意な方や難関校を受ける方は、なぜこの方法で３の倍数がわかるのか、文字を使って証明してみるととても勉強になります。

🌸４の倍数
下２ケタだけ見てください。下２ケタが４で割れれば、その数自体も４で割れます。
例えば、2020は、20が４で割れますから2020も４で割れます。

🌸５の倍数
これも簡単。１の位が０か５であれば、その数は５の倍数です。

🌸６の倍数
ここはちょっと重要ですので注意してご覧ください。

６の倍数を見分けるには、６＝２×３であることを利用します。
つまり、２の倍数でも３の倍数でもあれば、その数は６の倍数なのです。

例えば2028を考えてみます。１の位が偶数ですから２の倍数です。
そして、2+0+2+8＝12ですから、３の倍数でもあります。
ということは、６の倍数でもあるということになります。
確かめてみましょう。2028÷６＝338　割り切れました！

🌸８の倍数
下３ケタが８で割れるかを調べてください。
例えば、2200は下３ケタの200が８で割れますから、2200も８で割れます。
2200÷８＝275ですね。

🌸９の倍数
３の倍数と同じ手法が使えます。
4167の各位の数字の和を考えてみると、4+1+6+7＝18となり、18は９の倍数ですから4167は９で割れます。
4167÷９＝463です。

🍃おまけ
このくらい知っておけば十分ですが、もう少しだけ補足します。
🌸10の倍数は、１の位が０かどうかを見るだけです。
🌸７の倍数、11の倍数、13の倍数は知ってないとなかなか気づきにくいので、一度調べておくとよいですよ。７、14、21…という感じで200くらいまでやっておくとよいです。
例えば、

147＝7×7×3
209＝11×19
91＝7×13
143＝11×13

あたり、パッと思いつけると算数・数学はかなり有利ですよ。

ちなみに、
🌸1001＝７×11×13
というのも知っておくと役立つかもしれません。

☆続・2022を素因数分解してみよう

ということで、1011は３で割れることがわかったので、

2022　＝　２　×　３　×　337

では、337は素数なのでしょうか？
それともまだ何かで割れるのでしょうか？

…これも、ちゃんと判断できる必要があります。
以下、順を追ってご説明しましょう。

☆100までの素数の探し方

倍数のセンスがマスターできたことを前提として、入試までに一度、100までの素数を実際に求めておくと理解が深まります。一瞬でできます。

まず、以下のような100までの表を用意してください。

（エクセルを使えばすぐ作れますが、この画像をプリントアウトしても結構です）

では、実際にやってみてくださいね。

🐣Step1　１は素数ではないのでバツで消します。
⚠️意外と間違えて１を素数だと思っている人が多いので注意！
🐣Step2　２・３・５・７は素数なので〇をつけて残します。
🐣Step3　２以外の２の倍数（偶数）は素数ではありません。
すべてバツで消していってください。（縦に線を引いてしまうと早いです）
🐣Step4　５以外の５の倍数は素数ではありません。
すべてバツで消していってください。
10の倍数は既にStep3で消えていますので、実際には15以下を縦に線引けばOKです。

ここまでは簡単だと思いますが、ここから先は間違えないように注意深くやっていく必要があります。

🐣Step5　３以外の３の倍数も素数ではありません。
すべてバツで消していってください。
🐣Step6　最後に、７以外の７の倍数をすべてバツで消していってください。
…といっても、既にほとんど消えているので、実際にこのステップで消すべきものは多くはないです（２つしかなかったハズです…）。
間違えないように慎重に…。

以上で終了です。
現時点で、バツで消されてないものはすべて素数です。
念のため、答え合わせをしておきましょう。

🐣「2,　3,　5,　7,　11,　13,　17,　19,　23,　29,　31,　37,　41,　43,　47,　53,　59,　61,　67,　71,　73,　79,　83,　89,　97」

以上、25個あれば正解です！正解者に拍手！👏
実際に手を動かしてやってみることが重要ですので、必ず自分でやってみてくださいね。

☆ある数が素数かそうでないか調べるには？

では、ここから先がいよいよ重要です。
ちょっと応用問題です。

🐯上の作業で、「どうして７の倍数を消すだけで作業をやめていいのか？11の倍数は消さなくていいのか？」と疑問に思いませんか？

実はちゃんと理由があります。この理由をきちんと理解しておくことが、ある数が素数かそうでないか調べる上でとても重要になってきます。ぜひ理解してください。

「素数かどうか」を調べるということは、「１とその数以外に約数はあるか」を調べることに他なりません。これはいいですね。

で、仮に１とその数以外に約数があるとするならば、その約数のうちの一つは、必ず「その数の平方根」よりも小さいはずなんです。

なぜなら、平方根を２回かければその数になるのですから、平方根よりも小さい約数が存在しなければ、掛け算したらその数自身を超えてしまいます。

今回は、100までの素数を探しました。
100の平方根（のうち、正のもの。ルート100）は10です。
ですから、100の平方根である10より小さい素数の倍数だけを消していけば足り、11の倍数のことは気にしなくていいというわけです。

…難しかったですか？でも重要な考え方なので、必ず理解しておいてください。

一般に、ある数が素数かどうかを調べるためには、その数の平方根未満の素数で割り切れるかどうかだけを調べればよいのです。

☆３３７の平方根はおよそいくつ？

こういう見当がつけられるセンスも重要ですよ。
18の２乗が324、19の２乗が361ですから、18と19の間ですね。
（平方根はExcelのSQRT関数を使えば簡単に求まります。より正確な値は18.3575…です。）

ですから、18.3未満の素数、「2,　3,　5,　7,　11,　13,　17」で割ってみて、どれでも割れなければ337は素数だということになります。
やってみると、どれでも割ることはできません。
つまり、337は素数だったのです。

従って、2022を素因数分解せよ、と言われたら
✅2022　＝　２　×　３　×　337
が解答となります！
長い道のりでしたね！

西暦に|因《ちな 》んだ問題は、定期テストや入試で意外と出題されます。
例えば、こんな問題が出てもビビらないように準備しておきましょう！

もちろん、2022に通分するだけです。知らないと気づきにくい？
ちなみに正解は331/2022。

これまでの内容がちゃんと理解できていれば、西暦以外のどんな数字が出題されても素数かどうかを判断できる（＝素因数分解ができる）のです！✨

☆楔数（くさびすう）

2022のように、異なる素数を３つかけてできる数のことを「楔数」といいます。
ですから、今年は楔数の年です！

ちなみに、素数を２つかけてできる数は「半素数」といいます。
2021＝43×47
ですので、昨年は半素数の年だったんですよ。
ちゃんと意識してましたか？

☆暗号と素数

素数はRSA暗号と呼ばれる暗号の作成に用いられており、このIT時代にセキュリティを考察する上でかなり重要な概念となっています。そのため、入試などでもよく取り上げられる題材です。

ここではものすごくざっくり解説すると、例えば２つの素数89と97を掛け算して8633を得ることは容易です。でも、8633を見て、それが89と97の積であると気づく（素因数分解する）のはめっちゃ難しいですよね。
半素数としてご紹介した2021も、知っていないと43と47の積であるとはなかなか気づきにくいでしょ？

素数のこの性質を利用すると、作成するのは容易だけれども解くのは難しい暗号を作れるのです。数学って凄い！✨

☆おわりに　素数のように私は生きたい

唐突ですが、私は素数が大好きです。
１と自分自身でしか割れない、って生き方としてカッコよくないですか笑💦😝

１で割っても、実際には何もしてないのと一緒ですから、つまり自分自身でしか割れないということですよ。
私は他の人の言いなりにはならない、自分の信念に基づいて生きていく、みたいなものを素数から感じ取るのは私だけでしょうか。

ちなみに、化学でいったら「自由電子」みたいな生き方が好きなのですが、これはまた別の機会に💦😝

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