無限の数学 カントールの対角線論法破れたり!!!「後出し」は実数の専売特許にあらず

結論
対角線論法に基づく「実数と自然数の個数は異なる(1対1対応が不可能だから)」という結論は誤り。対角線論法に従えば同様に「実数同士の個数は異なる(1対1対応が不可能だから)」という間違った結論が出るから。

自然数より実数の方が多いということは、両者を付き合わせていくと自然数が尽きるということになり、自然数の個数が無限であることと矛盾しますが、これは解決されているのですか？

Copilot
[これは数学の集合論における「無限の濃度（カーディナリティ）」という概念に関わる話です。直感に反するように思えるかもしれませんが、自然数と実数の「無限の多さ」は異なると数学的に証明されています。そしてこれは、自然数が「尽きる」という意味ではなく、無限にも「種類」があるということなのです。

🧠 無限の濃度とは？

• 自然数（ℕ）の集合は「可算無限」と呼ばれます。これは、1, 2, 3, …と順番に数えられる無限。

• 実数（ℝ）の集合は「非可算無限」。つまり、どんなに頑張っても自然数と一対一対応を作ることができないほど“多い”無限。

この「無限の種類の違い」を示すのが、カントールの対角線論法という有名な証明です。

🔍 カントールの対角線論法（ざっくり）

1. 実数（例えば 0〜1 の間の数）を自然数で番号付けしようとする。

2. 各実数を小数で表し、縦に並べる。

3. 対角線上の数字を見て、それを少し変えた新しい数を作る。

4. この新しい数は、どの列にも一致しない＝どの自然数にも対応していない！

つまり、自然数で実数を網羅することは不可能だと証明されるのです。

🤔「自然数が尽きる」という直感はなぜ起こる？

それは「無限＝全部対応できるはず」という感覚から来ています。でも数学では、全単射（一対一対応）が存在するかどうかで集合の「大きさ（濃度）」を比べます。

• 自然数と有理数は一対一対応が可能 → 濃度は同じ。

• 自然数と実数は一対一対応が不可能 → 実数の方が濃度が大きい。

自然数が「尽きる」のではなく、実数の方が“より多い無限”を持っているということなんです。]

うーんこたえになってない気がする。

結論から言うと「すべての自然数とすべての実数を1対1で対応させる方法(もちろん対角線論法を考慮した上での)」は四通りある。が、その前に。

「実数は自然数より多い」＝「自然数は実数より少ない」というのは、自然数と実数を1対1でつき合わせていくと、途中で自然数が尽きる＝自然数は有限と言うことに等しく、現実には自然数が無限に存在していることと矛盾する。したがって、「実数は自然数より多い」という結論に至る場合は、たとえば「アキレスと亀」といったものと同様のパラドックスであり、必ずどこかに間違いがあるはずなのである。

∞＝∞は揺るぎようがない事実であるのだが、自然数と、自然数の半分しかないように思える偶数や、自然数よりはるかに多そうな有理数や実数を比べたときに、どちらが多いということはなく、つまり両者の個数は等しいというのは確かに受け入れがたいものがある。

で、実数については、まず「すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させた表」を仮定するのだが、これで問題がなければ「自然数と実数のそれぞれの個数は等しい」ということになったのだろうか。そうはならないものを仮定しても意味はないわけで、それでいいなら有理数の話は何だったのか。同様に、重複しないように注意しながら思いつくままに

148→1/3
10001→389/631
7566→29453/757
・
・
・

といった具合に対応させるだけでよかったのではないか。でもまあ、思いつく方が大変で、規則性があるに越したことはなく、「自然数より有理数の方が多く見える」という疑問を解消するために、見栄えをよくしてわかりやすく説明することに一定の意味があるのも確かだ。

で、有理数の場合も、まず

1/1,2/1,3/1…
1/2,2/2,3/2…
1/3,2/3,3/3…
・
・
・

のように有理数を整列させ(2/2や3/3は重複しているが、多く見える方が増える分には問題ないだろう)て「すべての有理数の表」を作り、しかる後

1→1/1
2→1/2
3→2/1
4→3/1
5→2/2
6→1/3
・
・
・

と、自然数と有理数を1対1に対応させていくのだが、これはつまり、自然数と有理数をそれぞれ一列に並べたということであり、言い換えれば、一列に並べられれば1対1で対応させることができるということだ(ちなみに、自然数を対応させる際に、分母が1の分数だけを対象にした場合は、自然数と自然数を対応させることになり、つまり、すべての有理数と対応させるなら、対象を、分子が1の分数とか分母が3の倍数の分数とか限定してはだめで、対象を限定しておいて一方を多いと言ったら当然それは間違いになる)。

ではすべての実数を一列に並べることはできるのか。結論は「できる」で、現にすべての実数は数直線上に一列に並んでいるのだから、「すべての実数を一列に並べることはできない」という結論に至った場合はこれもまたパラドックスであり、必ずどこかに間違いがあるはずなのだ。

前置きは以上にして、ここから本題の「すべての自然数とすべての実数を1対1で対応させる四つの方法」について述べていく。

＊方法1＊

まず、すべての自然数と、異なる実数を無限に並べたもの、とを対応させるのだが、それは、異なる実数を無限に並べた「第一列」の「一番目」の実数を「1・1」とすると、

1→1・1
2→1・2
3→1・3
・
・
・

と表すことができる。これはいわゆる「すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させたと仮定したもの」であり、対角線論法によってこの表には存在しない実数を作れることから、仮定は間違い＝「実数は自然数より多い」という結論になるのが従来の話である。しかしこれは、自然数を対応させる対象を「第一列」に限定したことによる間違った結論だ。

対角線上の数字のずらし方は、すべて一つずらす1111…の他に、1211…,1234…,2624…と無限にあるので、一つの対角線から、「第一列」には存在しない実数を無限に生み出すことができる。対角線論法によって生み出された無限の実数を並べた「第二列」に自然数を対応させることができなければ先の結論は正しいことになるが、そんなことは全然なく、「第二列」の「一番目」の実数を「2・1」とすると、

1→1・1
2→2・1
3→1・2
4→2・2
5→1・3
6→2・3
・
・
・

のように、始めの、自然数と「第一列」の対応を解消した後、あらためて自然数を、「第一列」と「第二列」に、交互に対応させればいいだけの話なのだ。で、これは、「第一列」と「第二列」を合わせて「新たな第一列」にした(＝始めの状態にリセットした)ということであり、この「新たな第一列＝N1」の対角線から、対角線論法によって「新たな第二列＝N2」が生まれるので、そしたらまたそれまでの対応を解消して

1→N1・1
2→N2・1
3→N1・2
4→N2・2
5→N1・3
6→N2・3
・
・
・

と、自然数を「新たな第一列」と「新たな第二列」に交互に対応させ、これを無限に繰り返せばいいのである。自然数を、「新たな第二列」の実数に、無限に対応させ続けることができるということは、すなわち両者の個数は同じということなのである。

それにしても、無限に生み出される「新たな第一列」と「新たな第二列」は合わせて「新たな第一列」にできるのに、なぜ始めから一列に並べることができないのか。

方法1を別の言い方でまとめると、まず

1→1・1
2→1・2
3→1・3
・
・
・

のように、すべての自然数と、異なる実数を無限に並べたもの、とを対応させるところから始めて、次に

1→1・1
2→　　←2・1
3→1・2
4→　　←2・2
5→1・3
6→　　←2・3
・
・
・

と、「第二列」の実数を「第一列」に割り込ませて、始めの、すべての自然数と、異なる実数を無限に並べたもの、とを対応させた状態

1→1・1
2→2・1
3→1・2
4→2・2
5→1・3
6→2・3
・
・
・
↓
1→1・1(1・1)
2→1・2(2・1)
3→1・3(1・2)
4→1・4(2・2)
5→1・5(1・3)
6→1・6(2・3)
・
・
・

にリセットして、そしたらまた

1→1・1
2→　　←2・1
3→1・2
4→　　←2・2
5→1・3
6→　　←2・3
・
・
・

と、「第二列」の実数を「第一列」に割り込ませて…とこれを無限に繰り返す、といった具合に説明することができる。

＊方法2＊

まずは対話型AI「Bing」とのやり取りから。

Q:無限桁の自然数はありますか。
A:自然数は、個数もしくは順番を表す一群の数のことで、有限のものです。無限桁の自然数は存在しません。
Q:自然数の桁は有限ですか。
A:はい、自然数は有限のものです。そのため、自然数の桁も有限です。
Q:自然数の桁は有限とのことですが、自然数の最大の桁は何桁ですか。
A:自然数には最大の桁はありません。自然数は無限に続くため、その桁も無限に増え続けます。

どゆこと!?

「無限桁の自然数は存在しない」＝「自然数は有限桁のものしか存在しない」＝「自然数には最大の桁が存在する」＝「自然数の個数は有限」であり、有限と無限を比べたらそりゃ無限が多いに決まってる。

小数点以下には数字を無限に並べることができるのに、小数点以上にはそれができないというのはどう考えてもおかしい。

…109876543210.012345678901…

「自然数はどこまでいっても有限」というのは「有限番目」を見ているからで、それは例えば、小数点以下、一恒河沙の一恒河沙乗番目が2、一阿僧祇の一阿僧祇乗番目が3、一那由他の一那由他乗番目が4の

0.1…2…3…4…

のような無理数についても同じことが言えるわけで、「どこまでいっても有限」なら無限小数というものは存在しなくなる。

自然数が、一桁のものしか存在しなかったとしたら、重複することなく並べることができるのは、

1
2
3
4
5
6
7
8
9

のように九番目までで、十番目以降は重複するものしか並べることができない。同様に、自然数が、二桁までのものしか存在しなかったら九十九番目まで、三桁までのものしか存在しなかったら九百九十九番目までしか、重複することなく並べることはできない。自然数が有限桁のものしか存在しなかった場合、重複することなく並べることができる自然数の個数は有限になる。有限桁の自然数を、重複することなく無限に並べることはできないのだ。実際には重複することなく並べることができる自然数の個数は無限であり、それが可能なのは、無限桁の自然数が存在するからである。無限桁の自然数が存在するなら話は簡単で、

…49822→8.25937…
…30136→0.97126…
…57750→6.66581…
・
・
・

と、無限桁の自然数を無限に並べたもの(これだと自然数は少なくなるが、少なく見える方が減る分には問題ないだろう)と、実数を無限に並べたものとを対応させるところから始めて、次に

自然数→実数
1・1→1・1
2・1→2・1
1・2→1・2
2・2→2・2
1・3→1・3
2・3→2・3
・
・
・

と、それぞれの「第一列」同士と「第二列」同士を対応させ、それ以降は

自然数→実数
N1・1→N1・1
N2・1→N2・1
N1・2→N1・2
N2・2→N2・2
N1・3→N1・3
N2・3→N2・3
・
・
・

と、それぞれの「新たな第一列」同士と「新たな第二列」同士を無限に対応させればいいだけだ。もっとも、自然数は無限にありさえすればよく、自然数が無限にあれば方法1が使えるので、

自然数→実数
1・1→N1・1
1・2→N2・1
1・3→N1・2
1・4→N2・2
1・5→N1・3
1・6→N2・3
・
・
・

のように、自然数の方は、「第一列」だけあれば十分であり、対角線論法で「第二列」や「新たな第二列」を作る必要がなく、ここまで書いておいてなんだが、方法2はあまり意味がないと言える。

＊方法3＊

方法1(と2)は「動的な対応」とでも言うべきものであり、できれば「静的な対応」が望ましいわけで、そのためには実数を整列させる必要があるのだが、以下のようなやり方ではだめなのか。

まず

1→0.1
2→0.2
・
・
・
9→0.9
10→0.01
11→0.11
12→0.21
・
・
・
99→0.99
100→0.001
101→0.101
102→0.201
・
・
・
9999→0.9999
10000→0.00001
10001→0.10001
10002→0.20001
・
・
・
…835218→0.812538…
…835219→0.912538…
…835220→0.022538…
・
・
・

というように、すべての自然数と、0と1の間のすべての実数を、1対1に対応させる。右側が「0と1の間のすべての実数」であることに異論はあるだろうか。この列に存在しない(0と1の間の)実数は存在するのか。この列は、小数第一位の数字が1,2…9,0,1…9,0,1…となっているので、だいたいその値で推移しながら、実数が、0と1の間を無限に埋めていく形になっている。

例えば、小数点以下、一恒河沙の一恒河沙乗番目が2、一阿僧祇の一阿僧祇乗番目が3、一那由他の一那由他乗番目が4の

0.1…2…3…4…

のような無理数について、この並びの途中までのものしかないとしたら、ではどこまでのものならあるのか。0.1…2か、0.1…2…3か、0.1…2…3…4か。実際には「途中まで」などということはなく、つまりこの列にこの無理数は存在し、この任意の無理数が存在するなら(0と1の間の)すべての無理数が存在するのである。で、この表は左右が対称的になっているから、右に無限小数が存在するなら左には無限桁の自然数が存在するのである。

有限桁の自然数を重複することなく無限に並べることができないのと同様に、有限小数を、重複することなく無限に並べることはできない。この列は0と1の間の実数を整列させたものであり、この列に存在しない(0と1の間の)実数は存在しない。

ところでこれは「すべての自然数と0と1の間のすべての実数を1対1に対応させた表」なのだが、対角線論法は通用するのだろうか。一番目の小数第一位からの対角線上の数字は1000…になり、それを基に実数を作ると0.2111…になり、確かにn番目の小数第n位の数字は一致しないのだが、これは何かおかしい。実際に0.2111…1…1…1…はこの表に存在しているわけだし。対角線論法の視点では、

・
・
・
…1111→0.1111…　　?000…
…1112→0.2111…　　?000…
…1113→0.3111…　　?000…
・
・
・

のように、無限の後ろに別の無限が続く?みたいなおかしなことになるので、この場合は、「対角線論法は使えない」とするのが正しい判断だと思われる。

ちなみに「無限小数の領域?」

…9999→0.9999…
…0000→0.0000…
…0001→0.1000…
…0002→0.2000…
・
・
・

においては、対角線論法が、それの視点では「明らかに」通用し、「すべての無限小数が存在する」という視点では通用しない、という矛盾が生じる。

いずれにしても、方法3において左右は対称的で対等なのだから、そもそもこの場合対角線論法に意味はない。

で、すべての実数を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
・
・
・

(0),-0.1,-0.2…-0.9,-0.01,-0.11…
-1,-1.1,-1.2…-1.9,-1.01,-1.11…
-2,-2.1,-2.2…-2.9,-2.01,-2.11…
・
・
・

となるので、すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させると、

1→0
2→0.1
3→-0.1
4→1
5→-1
6→2
7→-2
8→1.1
9→-1.1
10→0.2
11→-0.2
12→0.3
13→-0.3
14→1.2
15→-1.2
16→2.1
17→-2.1
18→3
19→-3
・
・
・

のようになる。

＊方法4＊

方法4は方法3をアレンジしたものである。

まずは、

1→0.0…(882…)
2→0.1…(347…)
3→0.2…(502…)
・
・
・
10→0.9…(163…)
11→0.00…(000…)
12→0.01…(212…)
13→0.02…(499…)
・
・
・
20→0.09…(535…)
21→0.10…(781…)
22→0.11…(010…)
23→0.12…(966…)
・
・
・

というように、一の位の0に小数第一位の0~9を組み合わせてできた実数の小数第一位の0~9のすべてに小数第二位の0~9を組み合わせてできた実数の小数第二位の0~9のすべてに小数第三位の0~9を組み合わせてできた実数の…というように、小数点以下の数の並びの全てのものを(当然無限!に)作っていき、その後ろに任意の無限数列をくっつけたものに、自然数を対応させる。これは従来の「すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させたと仮定したもの」っぽいものだが、対角線論法は通用するだろうか。対角線論法で作った例えば

0.141742653506658139798402…

という実数は、対角線論法の視点ではこの表に存在しないが、この表の実数の小数点以下の前半部分は「すべての組み合わせ」であり、その視点では、

0.14174265

も、

0.1417426535066581

も、

0.141742653506658139798402…

も、存在することになる。どゆこと!?

これも、「前半部分」が無限になることで「無限の後ろに無限がつく」という「無限の二重構造」になることによるパラドックスだと思われるが、いずれにしても後は、対角線論法が、通用するなら方法1で、通用しないなら方法3と同様のやり方で、すべての自然数とすべての実数を1対1で対応させればよい。

ところでそれでも従来の考えが正しい場合、循環小数と非循環小数の個数に差が出る本質的な原因、両者の違いは何なのか。明確な違いは「整数比で表せるか表せられないか」だが、循環小数と非循環小数をそれぞれ循環数列と非循環数列に置き換え(今問題にしているのは個数であり、小数点を取り除いても個数は変わらない)れば整数比は関係なくなるわけだし。単なる数字の組み合わせに過ぎない同じ無限数列でありながら、循環させないというだけで個数が多くなるというのは何とも妙な話である。

補足 2023.05.29

東大卒の井上 尚夫氏とのやり取り

＞禅問答ではありません。例えば、「自然数の大きさに限りはないが、無限に大きな自然数は存在しない」ということは納得できませんか。

はい。「自然数は無限に大きくできるけれども、無限に大きな自然数は存在しない」というのは理解できません。

＞3が際限なく続く自然数というのはありません。でも、3をいくらでも並べることはできます。この2つの違いは理解できませんか。

はい。もしかして「3…333」はあるけれども「…333」はないみたいなことでしょうか。「…」に3をいくらでもすなわち無限に並べた場合は、どちらも同じことで、「3…333」のように「最大の桁の3」を見ることはできず「…3…3…333」としかなりません。

「3をいくらでも並べることはできます」というのは自然数の話ではなく無限数列のことでしたか。

「3が際限なく続く自然数というのはありません」ということは「上限がある」ということですか。

＞9を際限なく並べたものが自然数なら、それに1加えたらどうなりますか。無限の彼方に1があってそれ以外はすべて0になるのでしょうか。0が際限なく並んでその向こうに1があるのでしょうか。

おっしゃる通りです。「…999」の一つ後の自然数は「…000」でその次は「…001」です。この場合も「最大の桁の1」を見ることはできず「…0…0…001」としかなりません。桁は一つ大きくなるわけですが、「有限桁の最大の桁」の次に「無限桁」が一つだけあるというようなことではなく、有限桁を拡張して考えればそういうことになります。

＞ではあなたが際限なく0から9までの数を並べたとき、その向こうにも何かあるのではないですか。

これはちょっと意味がわかりません。無限数列の後に無限数列が続くということはないと思います。

ところで、私が、回答というか質問で述べている、「有限桁の自然数を重複することなく無限に並べることはできない」言い換えれば「有限桁の自然数の個数は有限」ということについてはどうお考えでしょうか。一億桁、一兆桁、一京桁、…一恒河沙の一恒河沙乗桁、一阿僧祇の一阿僧祇乗桁、一那由他の一那由他乗桁といった具合に「有限の領域」でどんなに桁を大きくしても自然数の個数は有限にしかなりません。自然数の個数が無限になるのは無限桁の自然数が存在する場合だけです。

ところでついでに方法1についてですが、対角線論法で作った実数を一つだけ、「第一列」の「一番目」に割り込ませることは可能でしょうか。

＞すみません。基本的にあなたとは数学の話はできないようです。申し訳ありませんがブロックさせていただきます。

プロフィールには「数学についての素朴な疑問や学習上の疑問について、数学教育を担ってきた経験から答えさせて頂いています」とあるが、素朴じゃなかったところが嫌われたのかな。

補足 2023.05.30

「自然数の個数は無限」についてどのように考えられているのだろうか。「…999」という無限桁の自然数が存在しないなら桁には上限があることになり、「9…999」のように最大の桁が存在する場合は、自然数の個数は「9…999個」という有限の値にしかならない。「自然数の個数は無限」と言えるのは「…999」が存在する場合だけだ。

「9…999」の「…」を有限に増やしても「9…999」のままだが、無限に増やした場合は「…9…9…9…999」となり、どこまでいっても「最大の桁の9」を見ることはできない。

「最大の自然数」が存在しない以上無限桁の自然数にも大小はあり、「…999」の次は「…000」で、その次は「…001」になる。

類推すればわかることなので言及の必要性に思い至らなかったのだが、方法3の左の列について言えば、一恒河沙の一恒河沙乗桁が2、一阿僧祇の一阿僧祇乗桁が3、一那由他の一那由他乗桁が4の「…4…3…2…1」という無限桁の自然数が存在しないというなら、自然数は、「2…1」までなのか、「3…2…1」までなのか、「4…3…2…1」までなのか、という話である。そうだと言うなら「自然数の個数は有限」になるし、列もそこまでになる。自然数の個数が無限で列が無限に続くなら左の自然数の列には「無限番目」が存在し、「無限番目」の自然数は無限桁の自然数になる。「無限番目」は一つではなく、「有限番」は有限個、「無限番」は無限個ある。

補足2023.06.01

無限桁の自然数への嫌悪感がすさまじい。

「3が際限なく続く自然数というのはありません」＝「無限桁の自然数は存在しない」＝「自然数の桁を無限に増やすことはできない」ということであり、「…」を、3が一無量大数の一無量大数乗個並んだものだとすると、「3…3」→「3…3…3」→「3…3…3…3」のように桁を増やす場合に、その回数が、有限なら自然数の個数は有限になり、無限なら、桁を無限に増やした自然数の桁が有限、3を無限に並べた自然数に3が無限に並んでいない、無限に並べたのに無限に並んでいないというのは矛盾ではないのか。

「3が際限なく続く自然数というのはありません」と言いながら、「自然数の桁はいくらでも増やすことができる」とも言うのだが、「いくらでも」と無限は同じということがわからないのだろうか。

「3…3」よりまだ増やせる、「3…3…3」よりまだ増やせる、「3…3…3…3」よりまだ増やせる、と桁を増やすことには限りがなく、限り無く無限に桁を増やしたら「…3…3…3…333」のように、どこまでも3が続く無限桁の自然数になると思うのだが。

何を最優先にするかということで、「自然数の個数は無限」を最優先にするなら無限桁の自然数の存在を認めるしかない。