ポアソン分布の意味と平均・分散

$\lambda=1$，$k=0$ としてポアソン分布の確率関数を計算すると，

$$P(0)=e^{-1} \times \dfrac{1^0}{0!}\fallingdotseq 0.37$$

つまり，およそ $37$ ％。

以下のように考えて $P(k)$ を求める。

• 成功確率が $\dfrac{\lambda}{n}$ であるような独立な試行を $n$ 回行う。成功回数の期待値は $n$ によらず $\lambda$ である。
• $n$ 回の試行のうち $k$ 回成功する確率は，反復試行の確率の公式より，${}_n\mathrm{C}_k\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$ である。
• $n\to\infty$ としたものが，求める確率 $P(k)$ となるはずである。

ここまで理解できればあとは計算するのみ。極限のよい練習問題。

上記の議論より，

$$\begin{aligned} P(k)&=\lim_{n\to\infty}{}_n\mathrm{C}_k\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\\ &= \lim_{n\to\infty}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n}\\ &= \lim_{n\to\infty}\dfrac{\lambda^k}{k!}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k}\dfrac{n!}{(n-k)!n^k}\\ &=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!} \end{aligned}$$

ただし，最後の変形で，

$$\begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^n=e^{-\lambda},\\ &\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k}=1,\\ &\lim_{n\to\infty}\dfrac{n!}{(n-k)!n^k}=1 \end{aligned}$$

を用いた。

まず，指数関数のマクローリン展開

$$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots$$

において $x=\lambda$ を代入すると，

$$e^{\lambda}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\lambda^k}{k!}$$ となる。

よって，

$$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{\infty}P(k)&= \sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\\ &=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\lambda^k}{k!}\\ &=e^{-\lambda}e^{\lambda}=1 \end{aligned}$$

ポアソン分布の平均（期待値）は，

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{\infty}ke^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!} &=\sum_{k=1}^{\infty}e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{(k-1)!}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{k+1}}{k!}\\ &=\lambda\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\\ &=\lambda \end{aligned}$$