topologisk rum

Et grundlæggende eksempel på et topologisk rum er det \(n\)-dimensionale euklidiske rum for et helt tal \(n\ge 1\). Grundmængden i rummet er det reelle talrum \(S=\mathbb{R}^n\) af alle ordnede talsæt af \(n\) reelle tal \(\boldsymbol{x}=(x_1, x_2, \dots, x_n)\), og den topologiske struktur i rummet fastlægges af den euklidiske metrik \[d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})= \sqrt{\sum_{i=1}^n{(x_i-y_i)^2}}.\] For \(n= 2 ,3\) er dette en matematisk model for henholdsvis en euklidisk plan og det euklidiske rum.

I et vilkårligt euklidisk rum \(S\) definerer man en delmængde \(U\subseteq S\) til at være en åben mængde i \(S\), hvis ethvert punkt i \(U\) er centrum for en kugle i \(S\) helt indeholdt i \(U\) for en passende lille radius bestemt af metrikken \(d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\); se mængdetopologi.

Ovenstående begreber kan også indføres i et generelt metrisk rum.

Systemet af åbne mængder i et euklidisk rum, eller mere generelt et metrisk rum, opfylder tre krav (aksiomer):

• (TOP 1) En vilkårlig foreningsmængde af åbne delmængder er selv åben.
• (TOP 2) En vilkårlig fællesmængde af et endeligt antal åbne delmængder er selv åben.
• (TOP 3) Hele mængden \(S\) og den tomme mængde \(Ø\) er åbne delmængder i \(S\).

Systemet af åbne mængder i et euklidisk rum kaldes rummets topologi.

For at beskrive den indbyrdes beliggenhed af punkter i et rum kan man klare sig uden metriske størrelser; se mængdetopologi. Man behøver blot at have et system af udvalgte åbne delmængder i rummet med egenskaber som topologien i et euklidisk rum. Den formelle definition af et topologisk rum kan formuleres således:

Et topologisk rum er en matematisk struktur, som består af en grundmængde \(S\) udstyret med en topologi, dvs. et system af udvalgte delmængder af \(S\), benævnt de åbne mængder, som opfylder de tre aksiomer TOP 1, TOP 2 og TOP 3 nævnt overfor.

Dette aksiomsystem for de åbne mængder i en topologi blev foreslået i 1923 af den østrigske matematiker Heinrich Tietze (1880-1964).

Topologien i et topologisk rum siges at være metriserbar, hvis den er induceret af en metrik i et metrisk rum.

Enhver mængde \(S\) kan opfattes som et topologisk rum med systemet af samtlige delmængder som topologi. Denne topologi kaldes den diskrete topologi i \(S\). Den diskrete topologi er induceret af den diskrete metrik.

Til den anden yderlighed er systemet af blot to delmængder, nemlig den tomme mængde \(Ø\) og hele \(S\), også en topologi i \(S\). Denne topologi kaldes den indiskrete topologi i \(S\). Hvis \(S\) indeholder mere end ét punkt, er den indiskrete topologi ikke metriserbar.

I geometri optræder en række særligt betydningsfulde topologisk rum, der generaliserer kurver og flader i det euklidiske rum til højere dimension, nemlig de såkaldte mangfoldigheder.

• matematisk analyse
• metrisk rum
• mængdelære
• mængdetopologi
• analytisk geometri
• mangfoldighed