Mar de Dirac

El mar de Dirac és un model teòric del buit electrònic com un mar infinit d'electrons amb energia negativa. Va ser postulat per primera vegada pel físic britànic Paul Dirac el 1930 per explicar els estats quàntics anòmals d'energia negativa predits per l'equació de Dirac relativistament correcta per als electrons. El positró, la contrapart d'antimatèria de l'electró, va ser concebut originalment com un forat al mar de Dirac, abans del seu descobriment experimental el 1932.

Mar de Dirac per a una partícula massiva. •  partícules, •  antipartícules

En la teoria de forats, les solucions amb factors d'evolució temporal negatius es reinterpreten com a representacions del positró, descobert per Carl Anderson. La interpretació d'aquest resultat requereix un mar de Dirac, cosa que demostra que l'equació de Dirac no és simplement una combinació de relativitat especial i mecànica quàntica, sinó que també implica que el nombre de partícules no es pot conservar.

La teoria del mar de Dirac ha estat desplaçada per la teoria quàntica de camps, tot i que són matemàticament compatibles.

Orígens

El físic soviètic Iakov Frenkel havia desenvolupat idees similars sobre els forats en els cristalls el 1926, però no hi ha cap indici que el concepte es discutís amb Dirac quan tots dos es van reunir en un congrés de física soviètic l'estiu de 1928.

Els orígens del mar de Dirac es troben en l'espectre d'energia de l'equació de Dirac, una extensió de l'equació de Schrödinger consistent amb la relativitat especial, una equació que Dirac havia formulat el 1928. Tot i que aquesta equació va tenir un gran èxit en la descripció de la dinàmica dels electrons, posseeix una característica força peculiar: per a cada estat quàntic que posseeix una energia positiva E, hi ha un estat corresponent amb energia E. Això no és una gran dificultat quan es considera un electró aïllat, perquè la seva energia es conserva i els electrons d'energia negativa poden quedar fora. Tanmateix, sorgeixen dificultats quan es consideren els efectes del camp electromagnètic, perquè un electró d'energia positiva podria alliberar energia emetent contínuament fotons, un procés que podria continuar sense límit a mesura que l'electró descendeix a estats d'energia cada cop més baixos. Tanmateix, els electrons reals clarament no es comporten d'aquesta manera.

La solució de Dirac a això va ser basar-se en el principi d'exclusió de Pauli. Els electrons són fermions i obeeixen el principi d'exclusió, que significa que dos electrons no poden compartir un sol estat energètic dins d'un àtom. Dirac va plantejar la hipòtesi que el que considerem el "buit" és en realitat l'estat en què tots els estats d'energia negativa estan ocupats i cap dels estats d'energia positiva. Per tant, si volem introduir un sol electró, hauríem de posar-lo en un estat d'energia positiva, ja que tots els estats d'energia negativa estan ocupats. A més, fins i tot si l'electró perd energia emetent fotons, no podria baixar d'energia per sota de zero.

Dirac va assenyalar a més que podria existir una situació en què tots els estats d'energia negativa estiguessin ocupats excepte un. Aquest "forat" al mar d'electrons d'energia negativa respondria als camps elèctrics com si fos una partícula carregada positivament. Inicialment, Dirac va identificar aquest forat com un protó. Tanmateix, Robert Oppenheimer va assenyalar que un electró i el seu forat podrien aniquilar-se mútuament, alliberant energia de l'ordre de l'energia de repòs de l'electró en forma de fotons energètics; si els forats fossin protons, els àtoms estables no existirien. Hermann Weyl també va assenyalar que un forat hauria d'actuar com si tingués la mateixa massa que un electró, mentre que el protó és unes dues mil vegades més pesat. El problema es va resoldre finalment el 1932, quan Carl Anderson va descobrir el positró, amb totes les propietats físiques predites per al forat de Dirac.

La inelegància del mar de Dirac

Malgrat el seu èxit, la idea del mar de Dirac no sol semblar gaire elegant. L'existència del mar implica una càrrega elèctrica negativa infinita que omple tot l'espai. Per tal que això tingui sentit, cal suposar que el "buit nu" ha de tenir una densitat de càrrega positiva infinita que es cancel·la exactament pel mar de Dirac. Com que la densitat d'energia absoluta no és observable —deixant de banda la constant cosmològica—, la densitat d'energia infinita del buit no representa un problema. Només es poden observar canvis en la densitat d'energia. Geoffrey Landis també assenyala que l'exclusió de Pauli no significa definitivament que un mar de Dirac ple no pugui acceptar més electrons, ja que, com va elucidar Hilbert, un mar d'extensió infinita pot acceptar noves partícules fins i tot si està ple. Això passa quan tenim una anomalia quiral i un instantó de gauge.

El desenvolupament de la teoria quàntica de camps (QFT) a la dècada de 1930 va permetre reformular l'equació de Dirac de manera que es tracta el positró com una partícula "real" en lloc de l'absència d'una partícula, i fa que el buit sigui l'estat en què no existeixen partícules en lloc d'un mar infinit de partícules. Aquesta imatge recupera totes les prediccions vàlides del mar de Dirac. , com ara l'anihilació electró-positró. D'altra banda, la formulació del camp no elimina totes les dificultats plantejades pel mar de Dirac; en particular el problema del buit que posseeix energia infinita.

Expressió matemàtica

En resoldre l'equació lliure de Dirac,$$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=(c{\hat {\boldsymbol {\alpha }}}\cdot {\hat {\boldsymbol {p}}}+mc^{2}{\hat {\beta }})\Psi ,$$es troba

$$\Psi _{\mathbf {p} \lambda }=N\left({\begin{matrix}U\\{\frac {(c{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\boldsymbol {p}})}{mc^{2}+\lambda E_{p}}}U\end{matrix}}\right){\frac {\exp[i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -\varepsilon t)/\hbar ]}{{\sqrt {2\pi \hbar }}^{3}}},$$on

$$\varepsilon =\pm E_{p},\quad E_{p}=+c{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}c^{2}}},\quad \lambda =\operatorname {sgn} \varepsilon$$per a solucions d'ona plana amb p de 3 Això és una conseqüència directa de la relació relativista energia-moment$$E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$$sobre la qual es construeix l'equació de Dirac. La quantitat U és un vector columna constant 2 × 1 i N és una constant de normalització. La quantitat ε s'anomena factor d'evolució temporal, i la seva interpretació en funcions similars, per exemple, en les solucions d'ona plana de l'equació de Schrödinger, és l'energia de l'ona (partícula). Aquesta interpretació no està disponible immediatament aquí, ja que pot adquirir valors negatius. Una situació similar preval per a l'equació de Klein-Gordon. En aquest cas, el valor absolut de ε es pot interpretar com l'energia de l'ona, ja que en el formalisme canònic, les ones amb ε negatiu en realitat tenen energia positiva E_p. Però aquest no és el cas de l'equació de Dirac. L'energia en el formalisme canònic associada amb ε negatiu és –E_p.

Interpretació moderna

La interpretació del mar de Dirac i la interpretació moderna de la QFT estan relacionades pel que es pot considerar una transformació de Bogoliubov molt simple, una identificació entre els operadors de creació i aniquilació de dues teories de camp lliure diferents. En la interpretació moderna, l'operador de camp per a un espinor de Dirac és una suma d'operadors de creació i operadors d'aniquilació, en una notació esquemàtica:

$$\psi (x)=\sum a^{\dagger }(k)e^{ikx}+a(k)e^{-ikx}$$Un operador amb freqüència negativa redueix l'energia de qualsevol estat en una quantitat proporcional a la freqüència, mentre que els operadors amb freqüència positiva augmenten l'energia de qualsevol estat.

En la interpretació moderna, els operadors de freqüència positiva afegeixen una partícula d'energia positiva, cosa que augmenta l'energia, mentre que els operadors de freqüència negativa aniquilen una partícula d'energia positiva i disminueixen l'energia. Per a un camp fermiònic, l'operador de creació $a^{\dagger }(k)$ dóna zero quan l'estat amb momentum k ja està omplert, mentre que l'operador d'aniquilació $a(k)$ dóna zero quan l'estat amb momentum k és buit.

Però llavors és possible reinterpretar l'operador d'anihilació com un operador de creació per a una partícula d'energia negativa. Encara redueix l'energia del buit, però des d'aquest punt de vista ho fa creant un objecte d'energia negativa. Aquesta reinterpretació només afecta la filosofia. Per reproduir les regles per quan l'anihilació en el buit dóna zero, la noció de "buit" i "omplert" s'ha d'invertir per als estats d'energia negativa. En lloc de ser estats sense antipartícula, aquests són estats que ja estan omplerts amb una partícula d'energia negativa.

El preu és que hi ha una no uniformitat en certes expressions, perquè substituir l'aniquilació per la creació afegeix una constant al nombre de partícules d'energia negativa. L'operador numèric per a un camp de Fermi és:$$N=a^{\dagger }a=1-aa^{\dagger }$$la qual cosa significa que si es substitueix N per 1− N per a estats d'energia negativa, hi ha un canvi constant en quantitats com l'energia i la densitat de càrrega, quantitats que compten el nombre total de partícules. La constant infinita dóna al mar de Dirac una energia i una densitat de càrrega infinites. La densitat de càrrega del buit hauria de ser zero, ja que el buit és invariant de Lorentz, però això és artificial per organitzar-ho en la imatge de Dirac. La manera com es fa és passant a la interpretació moderna.

La idea de Dirac és més directament aplicable a la física de l'estat sòlid, on la banda de valència d'un sòlid es pot considerar com un "mar" d'electrons. Els forats en aquest mar existeixen, i són extremadament importants per comprendre els efectes dels semiconductors, tot i que mai no es coneixen com a "positrons". A diferència de la física de partícules, hi ha una càrrega positiva subjacent —la càrrega de la xarxa iònica— que cancel·la la càrrega elèctrica del mar.

Renaixement en la teoria dels sistemes fermiònics causals

El concepte original de Dirac d'un mar de partícules va ser reviscut en la teoria dels sistemes de fermions causals, una proposta recent per a una teoria física unificada. En aquest enfocament, els problemes de l'energia de buit infinita i la densitat de càrrega infinita del mar de Dirac desapareixen perquè aquestes divergències s'eliminen de les equacions físiques formulades mitjançant el principi d'acció causal. Aquestes equacions no requereixen un espai-temps preexistent, cosa que permet realitzar el concepte que l'espai-temps i totes les estructures que conté sorgeixen com a resultat de la interacció col·lectiva dels estats del mar entre si i amb les partícules i els "forats" addicionals del mar.